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-1-第二章参数方程-2-2.1曲线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解抛射体的运动及学习参数方程的必要性.2.理解参数方程、普通方程的概念,通过比较参数方程和普通方程,体会两者的联系与区别.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.抛射体的运动火炮发射炮弹后,炮弹在空中形成一条轨道曲线.假设轨道曲线为一平面曲线,炮弹在运动中仅受重力作用,不计空气阻力,也不受其他环境的影响,炮弹的初速度为v0,发射角(仰角)为α.为了描述这一运动,以火炮所在位置(炮口)为原点,地平线(水平方向)为x轴,y轴竖直向上建立直角坐标系,如图所示,把时间记为t,开始发射时,记t=0.设时刻t时炮弹所在位置为点M(x,y),它是轨道曲线上的动点.由物理学知识可知𝑥=𝑣0cos𝛼·𝑡,𝑦=𝑣0sin𝛼·𝑡-12𝑔𝑡2,其中𝑣0,𝛼为常数,𝑔是重力加速度(一般𝑔≈9.8m/s2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.曲线的参数方程的定义设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x,y表示为第三个变量t的函如果对于t的每一个值(a≤t≤b),①式所确定的点M(x,y)都在一条曲线上;而这条曲线上的任一点M(x,y),都可由t的某个值通过①式得到,那么称①式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.简单地说,若t在a≤t≤b内变动时,由①式确定的点M(x,y)描出一条曲线,则称①式为该曲线的参数方程.数𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)(𝑎≤t≤b).①ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-1】若点P(x,y)是曲线𝑥=2+cos𝛼,𝑦=sin𝛼(𝛼为参数)上任意一点,则(𝑥-5)2+(𝑦+4)2的最大值为____________.解析:由题意,设d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cosα-5)2+(sinα+4)2=8sinα-6cosα+26=10sin(α-φ)+26,其中φ为锐角,tanφ=34.故𝑑max2=10+26=36,从而dmax=6,即(𝑥-5)2+(𝑦+4)2的最大值为6.答案:6ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-2】已知参数方程𝑥=2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(𝜃∈[0,2π)),判断点A(1,3)和𝐵(2,1)是否在方程的曲线上.分析把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.解:把A,B两点的坐标分别代入方程,得1=2cos𝜃,3=2sin𝜃,①2=2cos𝜃,1=2sin𝜃,②在[0,2π)内,①的解是θ=π3,而②无解,故点A在方程的曲线上,而点B不在方程的曲线上.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.参数的取值范围名师点拨参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中,其他的坐标系也可以采用参数方程.在参数方程中,应明确参数t的取值范围.对于参数方程𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)来说,如果𝑡的取值范围不同,它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围,那么参数的取值范围就理解为𝑥=𝑓(𝑡)和𝑦=𝑔(𝑡)这两个函数的自然定义域的交集.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程是通过曲线上点的坐标x和y与t的关系来反映x和y之间的联系的.如果能从方程中消去参数t,就得到联系x和y的方程F(x,y)=0,而且这个方程的每一组解(x,y)都可从t的某个值通过①式得到,那么方程F(x,y)=0就是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程).参数方程和普通方程互化需注意以下两点:(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.一条曲线是用直角坐标方程表示还是用参数方程表示,要根据具体情况确定.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2】化参数方程𝑥=-4𝑡2,𝑦=𝑡+1(𝑡为参数,𝑡≥0)为普通方程.分析把参数t消掉,注意范围.解:𝑥=-4𝑡2,𝑦=𝑡+1消去t,得x=-4(y-1)2(y≥1).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航曲线的参数方程的特点剖析曲线的普通方程反映了一条曲线上的点的横坐标、纵坐标之间的直接联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x,y间的间接联系.在具体问题中,参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中,如果要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取.一般来说,选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二是参数与x,y之间的相互关系比较明显,容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑,可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等.有时为了便于列出方程,也可以选两个或两个以上的参数,再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦,所以参数的个数一般应尽量少.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一求曲线的参数方程【例1】已知点P是曲线𝑥=4cos𝜃,𝑦=4sin𝜃上的一个动点,点𝐴是𝑥轴上的一个定点,坐标为(12,0),当点𝑃在曲线上运动时,求线段𝑃𝐴的中点𝑀的轨迹的参数方程.解:设M点的坐标为(x,y),则P点的坐标为(2x-12,2y).∵点P在曲线𝑥=4cos𝜃,𝑦=4sin𝜃上,∴2𝑥-12=4cos𝜃,2𝑦=4sin𝜃,即𝑥=2cos𝜃+6,𝑦=2sin𝜃.故点M的轨迹的参数方程为𝑥=2cos𝜃+6,𝑦=2sin𝜃.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思解答本题需首先设出点M的坐标,然后由中点坐标公式用点M的坐标表示点P的坐标,最后把点P的坐标代入曲线的参数方程化简即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二参数方程的应用【例2】已知点P(x,y)是曲线C:𝑥=3+cos𝜃,𝑦=2+3sin𝜃上的任意一点,求3𝑥+𝑦的取值范围.解:设P(3+cosθ,2+3sinθ),则3x+y=3(3+cosθ)+(2+3sinθ)=11+3cosθ+3sinθ=11+23sin𝜃+π3,故3x+y的最大值为11+23,最小值为11-23,取值范围是[11-23,11+23].ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题,从而使整个运算过程得到简化.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错题型【例3】将参数方程𝑥=2+sin2𝜃,𝑦=sin2𝜃化为普通方程为()A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)错解将参数方程中sin2θ消去,得y=x-2,故选A.错因分析忽略了参数方程中0≤sin2θ≤1的限制.正解消参得y=x-2.∵0≤sin2θ≤1,∴2≤2+sin2θ≤3,即x∈[2,3].∴普通方程为y=x-2(2≤x≤3).故选C.答案:C反思参数方程与普通方程互化时,要注意参数的取值范围.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.当参数θ变化时,由点P(2cosθ,3sinθ)所确定的曲线过点()A.(2,3)B.(1,5)D.(2,0)解析:当2cosθ=2,即cosθ=1时,3sinθ=0.答案:DC.0,π2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.下列的点在曲线𝑥=sin2𝜃,𝑦=cos𝜃+sin𝜃上的是()A.12,-2B.-34,12C.(-2,3)D.(1,3)解析:将参数方程𝑥=sin2𝜃=2sin𝜃cos𝜃,𝑦=cos𝜃+sin𝜃化为普通方程是y2=1+x(-1≤x≤1),把A,B,C,D各项中点的坐标代入,验证等式是否成立即可.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.若点M(x,y)在曲线𝑥=1+3cos𝜃,𝑦=1+3sin𝜃上,则𝑥2+𝑦2的最大值与它的最小值的差为()A.62B.122C.2D.32解析:x2+y2=(1+3cosθ)2+(1+3sinθ)2=11+62sin𝜃+π4,所以x2+y2的最大值为11+62,最小值为11-62.所以x2+y2的最大值与它的最小值的差为11+62−(11−62)=122.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.把参数方程𝑥=sin𝜃+cos𝜃,𝑦=sin2𝜃-1化为普通方程为____________.解析:将x=sinθ+cosθ两边平方,然后与y=sin2θ-1相减,得y=x