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-1-三圆的切线的性质及判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证明问题.2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的半径符号语言直线l与圆O相切于点A,则OA⊥l图形语言作用证明两条直线垂直ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1】如图,已知直线l与☉O相切于点A,点B是l上异于点A的一点,则△OAB是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:∵l与☉O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°,△OAB是直角三角形.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.性质定理推论1文字语言经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点符号语言直线l与圆O相切于点A,过O作直线m⊥l,则A∈m图形语言作用证明点在直线上ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2】如图,直线l与☉O相切,点P是l上任一点,当OP⊥l时,则()A.点P不在☉O上B.点P在☉O上C.点P不可能是切点D.OP大于☉O的半径解析:由于OP⊥l,则P是l与☉O的切点,则点P在☉O上.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心符号语言若直线l与圆O相切于点A,过点A作直线m⊥l,则O∈m图形语言作用证明点在直线上ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234归纳总结由性质定理及其两个推论,可得出如下的结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心,就可推出第三个.于是在利用切线的性质时,过切点的半径是常作的辅助线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3】直线l与☉O相切于点P,在经过点P的所有直线中,经过点O的直线有()A.1条B.2条C.3条D.无数条解析:过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上,故选A.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12434.切线的判定定理文字语言经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线符号语言若OA是圆O的半径,直线l⊥OA,且A∈l,则l是圆O的切线图形语言作用证明直线与圆相切ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1243名师点拨在切线的判定定理中,要分清定理的条件和结论,强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图①②中的例子就不能同时满足这两个条件,所以都不是圆的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1243【做一做4】如图,AB经过☉O上一点C,且OA=OB,AC=CB.求证:直线AB是☉O的切线.分析:转化为证明OC⊥AB即可.证明:如图,连接OC.∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又∵AC=CB,∴OC⊥AB.又∵OC是☉O的半径,∴直线AB是☉O的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航判定切线的方法剖析:判定切线通常有三种方法:(1)定义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法;若不能确定已知要证的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不用定义法证明.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型一圆的切线性质的应用【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.求证:DE⊥AC.分析:由DE是☉O的切线,知OD⊥DE,故要证明DE⊥AC,只需要证明OD∥AC即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明:如图,连接OD,AD.∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.又∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE切☉O于点D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二【变式训练1】如图,已知∠C=90°,点O在AC上,CD为☉O的直径,☉O切AB于点E,若BC=5,AC=12,求☉O的半径.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二解:如图,连接OE.∵AB与☉O相切于点E,∴OE⊥AB,即∠OEA=90°.∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△ACB∽△AEO,∴𝑂𝐸𝐵𝐶=𝐴𝑂𝐴𝐵.∵BC=5,AC=12,∴AB=13,∴𝑂𝐸5=12-𝑂𝐸13,∴𝑂𝐸=103.即☉O的半径为103.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型二判断或证明圆的切线【例2】如图,AB是☉O的直径,AE平分∠BAF交☉O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是☉O的切线.分析:只需证明OE⊥CD即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二反思根据圆的切线性质判定圆的切线是平面几何中最常用的方法.这种方法的步骤是:①连接圆心和公共点;②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转化为证明直线垂直.证明:如图,连接OE.∵OA=OE,∴∠1=∠2.又AE平分∠BAF,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.∴CD是☉O的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二【变式训练2】如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.证明:如图,连接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.又∵∠1=∠2,∴∠4=∠3.∵OD=OB,OC=OC,∴△ODC≌△OBC.∴∠ODC=∠OBC=90°.又∵点D在圆上,∴DC是☉O的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航