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-1-习题课——指数函数、对数函数的综合应用课标阐释思维脉络1.掌握指数函数的图像和性质,并能利用此性质解决相关问题.2.掌握对数函数的图像和性质,并能利用此性质解决相关问题.3.了解指数函数与对数函数之间的内在联系.课前篇自主预习1.填空.(1)指数函数y=ax(a0,且a≠1)的性质①定义域为R,值域为(0,+∞).②非奇非偶函数.③当a1时,在R上是增函数,当0a1时在R上是减函数.(2)对数函数y=logax(a0,且a≠1)的性质①定义域为(0,+∞),值域为R.②非奇非偶函数.③当a1时在(0,+∞)内为增函数,当0a1时在(0,+∞)内为减函数.(3)指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)的关系①y=ax(a0,且a≠1)与y=logax(a0,且a≠1)互为反函数关系.②y=ax(a0,且a≠1)的图像与y=logax(a0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称.课前篇自主预习2.做一做:(1)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=12𝑥B.y=log12xC.y=xD.y=-x3(2)已知a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.60.5,则()A.acbB.abcC.cabD.cba答案:(1)D(2)A解析:(1)函数y=12𝑥与y=log12x都是非奇非偶函数,而y=x是单调增函数,只有函数y=-x3既是奇函数又是减函数.(2)因为a=log0.60.51,b=ln0.50,0c=0.60.51,所以acb,故选A.课堂篇探究学习探究一探究二探究三指数函数的综合应用例1已知函数.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值.分析:充分利用奇函数满足的关系f(-x)=-f(x)来求解,要有通过恒等式推导参数的意识.解:(1)∵4x-1≠0,∴4x≠1,∴x≠0.∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(x)=14𝑥-1-a∴14-𝑥-1-a=-14𝑥-1+a.∴2a=4𝑥1-4𝑥+14𝑥-1=1-4𝑥4𝑥-1=-1.∴a=-12.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三反思感悟函数性质的综合应用1.若函数具有奇偶性,则要联想到f(-x)与f(x)的内在关系来求参数.2.若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则f(0)=0这一结论的利用可使问题巧妙解决.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三变式训练1已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.-∞,12B.-∞,12∪32,+∞C.12,32D.32,+∞解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增,∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.∴由f(2|a-1|)f(-2)=f(2)可得2|a-1|2=212.∴|a-1|12.∴-12a-112,即12a32.故选C.答案:C当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三对数函数的综合应用例2已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.分析:本题考查与对数函数有关的定义域、值域问题的逆向问题.理解:函数f(x)的值域为R与定义域为R的含义及区别是解题的关键.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三解:(1)∵f(x)的值域为R,∴u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).当a0时,显然不可能;当a=0时,u=2x+1∈R恒成立;当a0时,若u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),则Δ=4-4a≥0,所以0a≤1.综上,a的取值范围是[0,1].(2)由已知,知u=ax2+2x+1的值恒为正,∴𝑎0,Δ=4-4𝑎0.解得a1,故a的取值范围是(1,+∞).反思感悟对数函数的定义域与值域的求解策略注意f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R与u=ax2+2x+1恒为正不一样.前者要求函数u=ax2+2x+1能取遍一切正实数,后者只要求u=ax2+2x+1取正时,对应的x∈R即可.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三延伸探究求函数f(x)=lg(x2-2x-3)的单调区间,并求函数f(x)在[4,+∞)内的值域.解:∵x2-2x-30,∴x3或x-1.设u=x2-2x-3,∵y=lgu在(0,+∞)内是增函数,又∵u=x2-2x-3=(x-1)2-4在(1,+∞)内是增函数,在(-∞,1)内是减函数,∴当x∈(3,+∞)时,y=lg(x2-2x-3)是增函数,x∈(-∞,-1)时,y=lg(x2-2x-3)是减函数.∴当x∈[4,+∞)时,f(x)≥f(4)=lg(16-2×4-3)=lg5.即当x∈[4,+∞)时,函数f(x)的值域是[lg5,+∞).综上可知,函数y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(-∞,-1),且x∈[4,+∞)时,函数值域为[lg5,+∞).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三指数函数与对数函数的交汇问题例3已知函数f(x)=3x,其反函数为y=m(x),且m(18)=a+2,函数g(x)=3ax-4x的定义域为[0,1].(1)求函数g(x)的解析式;(2)求函数g(x)的值域.分析:利用反函数的性质求出a,即可得g(x)的解析式,再利用配方法求g(x)的值域.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三反思感悟函数值域的求解策略利用配方法求函数的值域是求值域的一种重要方法,有时需结合换元法来进行,且要注意函数的定义域对值域的影响.解:(1)∵f(x)=3x,∴m(x)=log3x.又∵a+2=m(18)=log318=2+log32,∵0≤x≤1,∴2x∈[1,2],∴当x=0时,g(x)max=0,当x=1时,g(x)min=-2,∴函数g(x)的值域为[-2,0].(2)g(x)=2x-4x=-2𝑥-122+14,当堂检测∴a=log32,∴g(x)=3𝑥·log32-4x=2x-4x.课堂篇探究学习探究一探究二探究三变式训练2已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba解析:因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,所以m=0,即f(x)=2|x|-1.所以f(x)在[0,+∞)内为增函数.又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),f(2m)=f(0),且0log23log25,所以f(0)f(log23)f(log25),即f(2m)f(log0.53)f(log25).所以cab.答案:C当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测1.函数f(x)=lg(𝑥+1)𝑥-1的定义域是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)答案:C2.函数y=𝑥|𝑥|+lnx2的图像可能是()答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测3.函数f(x)=12𝑥+1,x∈[-1,1]的最大值是,最小值是.答案:332解析:因为函数g(x)=12𝑥在[-1,1]上是减函数,所以12≤g(x)≤2,所以32≤f(x)≤3.4.已知函数f(x)=e𝑥-e-𝑥e𝑥+e-𝑥,若f(a)=12,则f(-a)=.答案:-12课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=log2x.(1)求f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)≤.12课堂篇探究学习探究一探究二探究三当堂检测解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.∵当x0时,-x0,∴f(-x)=log2(-x).又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x).综上可知,f(x)=log2𝑥,𝑥0,0,𝑥=0,-log2(-𝑥),𝑥0.(2)由(1)得f(x)≤12等价于𝑥0,log2𝑥≤12或𝑥=0,0≤12或𝑥0,-log2(-𝑥)≤12,解得0x≤2或x=0或x≤-22,即原不等式的解集为𝑥0≤𝑥≤2,或𝑥≤-22.课堂篇探究学习