搜索
-1-4.3指数函数与对数函数的关系课标阐释思维脉络1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图像间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决一些问题.课前篇自主预习一二一、反函数的概念1.(1)已知一次函数y=2x-1,你能从方程的角度把x用y表示出来吗?提示:由y=2x-1得2x=y+1,即x=12y+12.(2)y=12x+12与x=12y+12两个等式有何区别和联系？提示:如果把第一个等式中的x看成自变量,第二个等式中的y看成自变量,那么它们表示同一个函数,只是字母符号不一致.但如果都看成y关于x的函数,那么这两个等式中的x,y是互换的,且x=12y+12是由y=2x-1转化而来,因此y=2x-1与y=12x+12不是同一函数.课前篇自主预习一二2.填空.(1)反函数的定义一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.(2)反函数的记法函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.(3)互为反函数的性质①y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同.②y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.③y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.课前篇自主预习一二3.做一做:若点(1,2)既在y=𝑎𝑥+𝑏的图像上,又在其反函数的图像上,求a,b的值.解:由已知,得点(1,2),(2,1)都在函数y=𝑎𝑥+𝑏的图像上,所以𝑎+𝑏=2,2𝑎+𝑏=1,解得𝑎=-3,𝑏=7.课前篇自主预习一二二、指数函数与对数函数的关系1.函数y=ax(a0,且a≠1)与函数y=logax(a0,且a≠1)的解析式有何内在联系?提示:根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一内在联系可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.2.函数y=ax(a0,且a≠1)与函数y=logax(a0,且a≠1)的单调性有一致性吗?提示:当0a1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致性,但变化速度有差异.课前篇自主预习一二3.填空.(1)关系指数函数y=ax(a0,a≠1)与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数.(2)图像特征指数函数y=ax(a0,a≠1)与对数函数y=logax(a0,a≠1)的图像关于直线y=x对称.4.做一做:若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为.答案:(9,+∞)解析:函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),也即这个函数的值域为(3,+∞),所以log3x+13,即log3x2,所以x9.所以此函数的定义域为(9,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析求反函数例1求下列函数的反函数:(1)y=log2x;(2)y=13𝑥;(3)y=5x+1.分析:按照求反函数的基本步骤求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,∴f-1(x)=2x(x∈R).(2)由y=13𝑥,得x=log13y,且y0,∴f-1(x)=log13x(x0).(3)由y=5x+1,得x=𝑦-15,∴f-1(x)=𝑥-15(x∈R).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);(2)x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练1求函数y=2x+1(x0)的反函数.解:由y=2x+1,得2x=y-1,∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).又∵x0,∴02x1,∴12x+12.∴所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1x2).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析指数函数与对数函数图像的关系例2(1)已知a0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是()(2)将y=2x的图像(),再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.A.先向上平行移动1个单位长度B.先向右平行移动1个单位长度C.先向左平行移动1个单位长度D.先向下平行移动1个单位长度答案:(1)B(2)D当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.方法二:若0a1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.方法三:如果注意到y=loga(-x)的图像关于y轴的对称图像为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图像关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)本题是关于图像的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟互为反函数的图像特点:(1)互为反函数的图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图像如图所示,则不等式-1≤f-1(x)≤12的解集是()A.-1,12B.-2,12C.[-2,0)∪12,1D.[-1,0]∪12,1答案:C解析:由题意可得f-1(x)的图像如图所示.由图像知-1≤f-1(x)0的解集为{x|-2≤x0},0≤f-1(x)≤12的解集为𝑥12≤𝑥≤1,故不等式-1≤f-1(x)≤12的解集为[-2,0)∪12,1.故选C.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析指数函数与对数函数关系的综合应用例3设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.分析:根据方程的特点,难以从正面下手,可转变方程形式,用数形结合的方法求解.解:将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3交点B的横坐标.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).则A,B都在直线y=-x+3上,∴b=-a+3(A点坐标代入),或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.反思感悟方程解的个数问题的求解策略根据指数函数与对数函数图像的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析设f-1(x)为函数f(x)=2x-2+𝑥2,x∈[0,2]的反函数,则y=f(x)+f-1(x)的最大值为.延伸探究答案:4解析:由题意得f(x)=2x-2+𝑥2在[0,2]上单调递增,值域为14,2,所以f-1(x)在14,2上单调递增,因此y=f(x)+f-1(x)在14,2上单调递增,其最大值为f(2)+f-1(2)=2+2=4.故填4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析因对反函数定义理解:不清而致误典例已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图像关于直线y=x对称,且g(x)的图像过定点(1,2018),则y=f-1(x+1)的图像过定点.错解:∵g(x)的图像过定点(1,2018),∴y=f(x+1)的图像过定点(2018,1).∴y=f-1(x+1)的图像过定点(1,2018).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解过程是误认为f(x+1)与f-1(x+1)互为反函数,实际上是f(x)与f-1(x)互为反函数,对此不能对自变量x随意变化拓展.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析正解:∵g(x)的图像过定点(1,2018),∴f(x+1)的图像过定点(2018,1).又∵f(x)的图像可以看作由f(x+1)的图像向右平移1个单位长度得到的,∴f(x)过定点(2019,1).又∵f(x)与f-1(x)互为反函数,∴f-1(x)的图像过定点(1,2019).再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图像过定点(0,2019).防范措施1.防止以上错误的产生,首先要明确反函数的求解原则和步骤,并且要清楚f(x)与f-1(x)是互为反函数的本质是等式中的x,y进行了互换.2.对于复合函数f(x+1)的函数的求解,可将“x+1”看成整体来对待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函数.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知函数y=f(x-2)的图像过定点(2,6),则函数y=f-1(x-2)的图像过定点.答案:(8,0)当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.函数y=log12x(x0)的反函数是()A.y=𝑥12,x0B.y=12𝑥,x∈RC.y=x2,x∈RD.y=2x,x∈R答案:B2.函数y=x+2(x∈R)的反函数为()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x(x∈R)D.y=x-2(x∈R)答案:D解析:由y=x+2(x∈R),得x=y-2(x∈R).互换x,y,得y=x-2(x∈R).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),如果函数y=f(x)的图像过点(1,0),那么函数y=f-1(x)+1的图像过点()A.(0,0)B.(0,2)C.(1,1)D.(2,0)答案:B解析:∵y=f(x)的图像过点(1,0),∴其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),即f-1(0)=1,∴y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).4.已知f(x)=1-3𝑥1+3𝑥,则f-145=.答案:-2解析:∵由1-3𝑥1+3𝑥=45,得3x=19,∴x=-2,即f-145=-2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若函数y=𝑎𝑥1+𝑥的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案:-1解析:由已知,得函数y=𝑎𝑥1+𝑥中的x与y互换后的函数与原函数为同一函数,即x=𝑎𝑦1+𝑦与y=𝑎𝑥1+𝑥为同一函数.所以a=-1.6.已知y=12x+a与函数y=3-bx互为反函数,求a,b的值.解:y=12x+a的反函数y=2x-2a应与函数y=3-bx为同一函数,∴-2a=3,且2=-b.∴a=-32,b=-2.课堂篇探究学习