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-1-4.2.3对数函数的性质与图像课标阐释思维脉络1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.2.会用信息技术作对数函数的图像.3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.4.熟练掌握对数函数的图像与性质.课前篇自主预习一二一、对数函数的定义1.指数式ab=N如何化为对数式?提示:根据指数式与对数式的互化关系可知logaN=b.2.在logaN=b(a0,且a≠1)这一关系式中,若把N看成自变量,b看成函数值,你能得到一个具有什么特征的函数?提示:可以得到函数y=logax(a0,且a≠1),此类函数的特征是以真数作为自变量,对数值作为函数值.这类函数就是本节将要研究的对数函数.3.填空.一般地,函数y=logax(a0,a≠1)称为对数函数.课前篇自主预习一二二、对数函数y=logax(a0,a≠1,x0)的图像与性质1.利用描点法作出函数y=log2x与函数y=log3x的图像,进而研究一下函数y=logax(a0,a≠1,x0)的底数变化对图像位置有何影响.课前篇自主预习一二提示:在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=log2x及y=log3x的图像,如图所示,可以看出:底数越大,图像越靠近x轴.同理,当0a1时,底数越小,函数图像越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时底数大小的问题.课前篇自主预习一二2.填写下表:定义y=logax(a0,a≠1,x0)底数a10a1图像定义域(0,+∞)(0,+∞)值域RR单调性增函数减函数过定点图像过点(1,0),即loga1=0函数值特点当x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);当x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞)x∈(0,1)时,y∈(0,+∞);x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]对称性函数y=logax与y=lo𝑔1ax的图像关于x轴对称课前篇自主预习一二3.做一做:(1)函数f(x)=1log2𝑥-1的定义域为()A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)(2)函数f(x)=log41𝑥的大致图像为()答案:(1)C(2)D解析:(2)由于f(x)==-log4x,其图像与y=log4x的图像关于x轴对称,故选D.log41x课前篇自主预习4.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)函数(a0,且a≠1)是对数函数.()(2)函数y=log2x是非奇非偶函数.()(3)函数y=logax(a0,且a≠1)的图像均在x轴上方.()(4)y-4=logm(x+9)(m0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4).()(5)当0a1时,y=logax为R上的减函数;当a1时,y=logax为R上的增函数.(6)因为x2+10恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×y=loga1+𝑥1-𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析求对数函数的定义域例1(1)函数f(x)=√𝑥+1+ln(4-x)的定义域为()A.[-1,4)B.(-1,+∞)C.(-1,4)D.(4,+∞)(2)函数y=loga𝑥-1(a0,a≠1)的定义域为.答案:(1)A(2)(1,+∞)解析:(1)由题意可知𝑥+1≥0,4-𝑥0,解得x∈[-1,4),故选A.(2)由题意可得𝑥-10,又∵偶次根号下非负,∴x-10,即x1.∴函数y=loga𝑥-1(a0,a≠1)的定义域为(1,+∞).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟求对数函数定义域的步骤当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1函数y=1-lg(𝑥+2)的定义域为()A.(0,8]B.(2,8]C.(-2,8]D.[8,+∞)答案:C当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析对数函数的图像及应用例2作出函数f(x)=|log3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.19,6解:f(x)=|log3x|=log3𝑥,𝑥≥1,-log3𝑥,0𝑥1,所以在[1,+∞)内f(x)的图像与y=log3x的图像相同,在(0,1)内f(x)的图像与y=log3x的图像关于x轴对称,据此可画出其图像如图所示.从图像可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),递增区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).当x∈19,6时,f(x)在19,1上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.又f19=2,f(6)=log362,故f(x)在19,6上的最大值为2.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟与对数函数有关的图像问题注意以下规律:(1)一般地,函数y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称,函数y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称,函数y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称.利用上述关系,可以快速识别一些函数的图像.(2)与对数函数有关的一些对数型函数,如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其图像可由y=logax的图像,通过平移变换、对称变换或翻折变换得到.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究将以上例题中的函数改为“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下问题.(1)作出函数图像,并写出函数的值域及单调区间;(2)若方程f(x)=k有两解,求实数k的取值范围.解:(1)函数f(x)=|log3(x+1)|的图像如图所示.由图像知,其值域为[0,+∞),f(x)在(-1,0]上是减少的,在[0,+∞)内是增加的.(2)由(1)的图像知,当k0时,方程f(x)=k有两解,故k的取值范围是(0,+∞).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析利用对数函数的性质比较大小例3比较大小:(1)log0.27与log0.29;(2)log35与log65;(3)(lgm)1.9与(lgm)2.1(m1);(4)log85与lg4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,得log0.27log0.29.(2)函数y=log3x(x1)的图像在函数y=log6x(x1)的图像的上方,故log35log65.(3)把lgm看作指数函数y=ax(a0,且a≠1)的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm1,即m10,则y=(lgm)x在R上是增函数,故(lgm)1.9(lgm)2.1;若0lgm1,即1m10,则y=(lgm)x在R上是减函数,故(lgm)1.9(lgm)2.1;若lgm=1,即m=10,则(lgm)1.9=(lgm)2.1.(4)因为底数8,10均大于1,且108,所以log85lg5lg4,即log85lg4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.如果两个对数的底数相同,则由对数函数的单调性(当底数a1时,函数为增函数;当底数0a1时,函数为减函数)比较.2.如果两个对数的底数和真数均不相同,那么通常引入中间值进行比较.3.如果两个对数的底数不同而真数相同,如的大小比较(a10,a1≠1,a20,a2≠1),(1)当a1a21时,根据对数函数图像的变化规律知当x1时,y1y2;当0x1时,y1y2.(2)当0a2a11时,根据对数函数图像的变化规律知当x1时,y1y2;当0x1时,y1y2.对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数是否大于1进行分类讨论.当堂检测y1=log𝑎1x与y2=log𝑎2x课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2设a=log2π,b=log2√3,c=log3√2,则()A.abcB.acbC.bacD.bca解析:∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,∴log2πlog2√3,即ab.又∵b=log2√3=12log2312,c=log3√2=12log3212,∴bc.∴abc.答案:A当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析求复合函数的单调区间例4求下列函数的单调区间:(1)y=log0.2(x2-2x+2);(2)y=loga(a-ax).分析:利用复合函数法确定其单调区间即可.解:(1)令u=x2-2x+2=(x-1)2+1≥10.当x≥1时,u=x2-2x+2是增函数,又y=log0.2u是减函数,所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)内是减函数.同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1].故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)①当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即axa,所以x1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是减函数.②当0a1时,y=logat是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即axa,所以x1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.综上所述,当a1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是减函数;当0a1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域;(2)将复合函数分解为基本初等函数;(3)分别确定各个基本初等函数的单调性;(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究将本例题(1)中函数改为“y=log2(x2-2x+2)”,例题(2)中函数改为“y=loga(ax-a)”结果又如何?解:(1)y=log2(x2-2x+2)在[1,+∞)内为增函数,在(-∞,1]上为减函数.(2)①当a1时,y=loga(ax-a)在(1,+∞)内为增函数;②当0a1时,y=loga(ax-a)在(1,+∞)内为减函数.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析因忽视真数的取值范围而致误典例解不等式loga(2x-5)loga(x-1).错解一由2x-5x-1,得x4,故原不等式的解集为{x|x4}.错解二由2𝑥-50,𝑥-10,2𝑥-5𝑥-1,解得x4,故原不等式的解集为{x|x4}.错解三原不等式可等价变形为2𝑥-50,𝑥-10,2𝑥-5𝑥-1,解得x4.所以当a1时,原不等式的解集为{x|x4};当0a1时,原不等式的解集为𝑥52𝑥4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a1对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确,而实际上解答过程是错误的.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析正解:当a1时,原不等式等价于2𝑥-50,𝑥-10,2𝑥-5𝑥-1,解得x4.当0a1时,原不等式等价于2𝑥-50,𝑥-10,2𝑥-5𝑥-1,解得52x4.综上,当a1时,原不等式的解集为{x|x4};当0a1时,原不等式的解集为𝑥52𝑥4.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨