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-1-4.2.1~4.2.2对数运算对数运算法则课标阐释思维脉络1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算法则.2.能利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.4.会用信息技术计算常用对数与自然对数.课前篇自主预习一二三四一、对数的概念1.你会求下列方程吗?(1)2x=8;(2)2x=1;(3)3x=2.提示:(1)(2)易求,满足2x=8的x=3;满足2x=1的x=0;但满足3x=2的x没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定方程3x=2存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需要引入本节课将要学习的“对数”.课前篇自主预习(4)𝑎log𝑎𝑁=N.一二三四2.填空.(1)一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b=logaN(a0,且a≠1).其中,数a称为对数的底数,N称为对数的真数,读作“b等于以a为底N的对数”.(2)以10为底的对数称为常用对数,即log10N,记作lgN.(3)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,即logeN,记作lnN.课前篇自主预习一二三四3.为什么规定在对数logaN中,a0,且a≠1呢?提示:(1)当a0时,N取某些值时,logaN无意义,如根据指数的运算性质可知,不存在实数x使-12𝑥=2成立,所以log-122无意义,所以a不能小于0.(2)当a=0,N≠0时,不存在实数x使ax=N成立,无法定义logaN.当a=0,N=0时,任意非零正实数x,有ax=N成立,logaN不确定.(3)当a=1,N≠1时,不存在实数x,使ax=N,logaN无意义.当a=1,N=1时,ax=N恒成立,logaN不能确定.课前篇自主预习一二三四4.做一做:(1)logab=1成立的条件是()A.a=bB.a=b,且b0C.a0,且a≠1D.a0,a=b≠1(2)指数式6413=4化为对数式为.答案:(1)D(2)log644=13课前篇自主预习一二三四二、对数的性质1.为什么零和负数没有对数?提示:因为x=logaN(a0,且a≠1)⇔ax=N(a0,且a≠1),而当a0,且a≠1时,ax恒大于0,即N0.故0和负数没有对数.2.填写下表:性质1负数和零没有对数,即N0性质21的对数为0,即loga1=0(a0,且a≠1)性质3底数的对数是1,即logaa=1(a0,且a≠1)3.做一做:使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(0,+∞)D.(-∞,2)∪(2,3)答案:B课前篇自主预习一二三四三、积、商、幂的对数提示:∵𝑎log𝑎(𝑀𝑁)=MN;𝑎log𝑎𝑀+log𝑎𝑁=𝑎log𝑎𝑀·𝑎log𝑎𝑁=M·N,∴𝑎log𝑎(𝑀𝑁)=𝑎log𝑎𝑀+log𝑎𝑁,∴loga(MN)=logaM+logaN.1.你会利用恒等式𝑎log𝑎𝑁=N来证明“loga(MN)=logaM+logaN”吗?课前篇自主预习一二三四2.填写下表:a0,a≠1,M0,N0运算法则自然语言积的对数loga(MN)=logaM+logaNloga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni0,i=1,2,…,k)正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和商的对数logaMN=logaM-logaN两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数logαMα=αlogaM(α∈R)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数课前篇自主预习一二三四3.做一做:下列各等式中,正确运用对数运算性质的是(其中x,y,z0)()A.lg(x2y𝑧)=(lgx)2+lgy+lg𝑧B.lg(x2y𝑧)=2lgx+2lgy+2lgzC.lg(x2y𝑧)=2lgx+lgy-2lgzD.lg(x2y𝑧)=2lgx+lgy+12lgz答案:D课前篇自主预习一二三四四、对数的换底公式1.填空.通过换底公式可推导出两个重要的结论:(1)logab·logba=1(a0,a≠1,b0,b≠1);一般地,我们有logab=log𝑐𝑏log𝑐𝑎,其中a0且a≠1,b0,c0且c≠1,这一结果通常被称为换底公式.(2)log𝑎𝑚bn=𝑛𝑚logab(a0,a≠1,b0,m≠0).2.如何用换底公式证明log𝑎𝑛bm=𝑚𝑛logab(a0,b0,a≠1,n≠0)?提示:左边=log𝑎𝑛bm=lg𝑏𝑚lg𝑎𝑛=𝑚lg𝑏𝑛lg𝑎=𝑚𝑛logab=右边.课前篇自主预习一二三四3.做一做:下列等式不成立的是()A.log34=ln4ln3B.log34=lg4lg3C.log34=1log43D.log34=log14log13答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析对数式与指数式的互化例1完成下表指数式与对数式的转换.答案:(1)lg1000=3(2)32=9(3)2x=10(4)lnx=3解析:(1)103=1000⇔log101000=3,即lg1000=3.(2)log39=2⇔32=9.(3)log210=x⇔2x=10.(4)e3=x⇔logex=3,即lnx=3.题号指数式对数式(1)103=1000(2)log39=2(3)log210=x(4)e3=x当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数式与指数式的关系由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式,其关系如下表:式子名称意义axN指数式ax=N底数指数幂a的x次幂等于N对数式logaN=x底数对数真数以a为底N的对数等于x当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1将下列各指数式与对数式进行互化:(1)23-2=94;(2)812=22;(3)log1416=-2;(4)lnx=13.解:(1)∵23-2=94,∴log2394=-2.(2)∵812=22,∴log822=12.(3)∵log1416=-2,∴14-2=16.(4)∵lnx=13,∴e13=x.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析对数基本性质的应用例2(1)若log3(lgx)=1,则x=;(2)求值:412(log29-log25)=.答案:(1)1000(2)95解析:(1)∵log3(lgx)=1,∴lgx=3.∴x=103=1000.(2)原式=2(log29-log25)=2log292log25=95.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.对数恒等式的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.2.利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)logax=1⇔x=a(a0,且a≠1).(2)logax=0⇔x=1(a0,且a≠1).我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化.𝑎log𝑎𝑁=N当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2求下列各式的值:(1)lg1000;(2)lne;(3)log224;(4)31+log36;(5)125log53.解:(1)因为103=1000,所以lg1000=log101000=3;(2)因为e12=e,所以lne=logee=12;(3)设log224=x,则(22)x=4,即232𝑥=22,所以32x=2,x=43,故log224=43;(4)31+log36=3·3log36=3×6=18;(5)125log53=152log53=(5-2)log53=5-2log53=5log53-2=3-2=19.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析对数运算法则的应用例3化简下列各式:(1)4lg2+3lg5-lg15;(2)lg27+lg8-lg1000lg1.2;(3)2log32-log3329+log38-5log53.分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.解:(1)原式=lg24×5315=lg(24×54)=lg(2×5)4=4;(2)原式=32lg3+3lg2-32lg3+2lg2-1=32(lg3+2lg2-1)lg3+2lg2-1=32;(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数运算法则的使用技巧及注意事项1.“收”:同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等,然后化简求值,如log24+log25=log220.2.“拆”:将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值,如.3.各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1,真数大于0.4.注意“同底”这个化简的方向,因为同底的对数才可能利用对数的运算法则.5.要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义.6.不仅要会正向运用对数的运算法则,还要学会其“逆用”和“变形用”.log295=log29-log25当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练3计算下列各式的值:(1)log2748+log212-12log242;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2.解:(1)原式=log27×1248×42=log212=-12.(2)原式=2lg5+2lg2+lg5·(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析对数换底公式的应用例4(1)计算lg12-lg58+lg12.5-log89·log98的值;(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.解:(1)原式=lg12÷58×252−lg9lg8·lg8lg9=lg10-1=0.(2)方法一:∵log189=a,18b=5,∴log185=b.于是log3645=log1845log1836=log18(9×5)log18(18×2)=log189+log1851+log182=𝑎+𝑏1+log18189=𝑎+𝑏2-𝑎.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析方法二:∵log189=a,18b=5,∴log185=b.于是log3645=log18(9×5)log181829=log189+log1852log1818-log189=𝑎+𝑏2-𝑎.方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18.∴log3645=lg45lg36=lg(9×5)lg1829=lg9+lg52lg18-lg9=𝑎lg18+𝑏lg182lg18-𝑎lg18=𝑎+𝑏2-𝑎.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.应用换底公式表示已知对数的两个策略当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析2.利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧:“化异为同”,即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算.(2)常见的三种处理方式:①借助运算性质:先利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底求解.②借助换底公式:一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.③利用对数恒等式或常见结论:有时可熟记一些常见结论,这样能够提高解题效率.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析(1)已知lg2=a,lg3=b,试用a,b表示log324;(2)若3x=4y=6z1,求证:1�