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-1-6.2.1向量基本定理课标阐释思维脉络1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.3.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题.课前篇自主预习一二一、共线向量基本定理1.填空.如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.2.如何理解共线向量定理?提示:(1)由b=λa⇒a∥b中,若λ=0,则b=0,零向量与任一向量都平行.若λ0,则a与b同向;若λ0,则a与b反向.(2)该定理有两方面的应用,一是一个向量可以由另一个向量线性表示,则可以判定两向量平行;二是若两向量平行,则一个向量可以由另一非零向量线性表示,可以用来求参数λ,它是轴上向量坐标化的依据.3.做一做:若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=b.答案:-57解析:由题意知a=-57b.课前篇自主预习一二二、平面向量基本定理1.填空.条件如果平面内两个向量a与b不共线结论对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb基底若向量a,b不共线,则{a,b}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底2.如何理解平面向量基本定理?提示:(1)a,b是同一平面内的两个不共线向量;(2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的;(3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.课前篇自主预习一二3.做一做:若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2答案:D解析:e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.12课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测向量共线问题(1)证明:A,B,C三点共线,(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.分析:(1)根据共线向量定理证明;(2)利用共线向量定理建立方程组求解.例1已知两个非零向量a,b不共线,𝑂𝐴=a+b,𝑂𝐵=a+2b,𝑂𝐶=a+3b.解:(1)因为𝑂𝐴=a+b,𝑂𝐵=a+2b,𝑂𝐶=a+3b.则𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐶=a+2b-(a+b)=b,而𝐴𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐴=a+3b-(a+b)=2b,于是𝐴𝐶=2𝐴𝐵,所以A、B、C三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又因为非零向量a、b不共线,所以一定有k-λ=0且λk-1=0,解之得,k=±1.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+1-52𝑘e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=.答案:-2或13解析:由题设知𝑘22=1-52𝑘3,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或13.反思感悟利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测平面向量基本定理的应用例2已知在△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点.若𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,用a,b表示𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐴𝐹.分析:把𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐴𝐹分别放在一个封闭三角形中,利用线性运算不断地向基底靠拢.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测解:由题意,得𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+12𝐵𝐶=𝐴𝐵+12(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=a+12(b-a)=12a+12b,𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸=a+13(b-a)=23a+13b,𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐹=a+23(b-a)=13a+23b.反思感悟用基底来表示向量主要有以下两种类型(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.(2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采用方程思想求解.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究例2中,用𝐴𝐸,𝐴𝐹表示𝐴𝐵.解:𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐸𝐵=𝐴𝐸+𝐹𝐸=𝐴𝐸+(𝐴𝐸−𝐴𝐹)=2𝐴𝐸−𝐴𝐹.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测方程思想在向量中的应用——数学方法典例如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.审题视角要证明AR=RT=TC,只要找出AR,AT,AC的关系即可,为此需借助于𝐴𝑅与𝐴𝐶共线,𝐸𝑅与𝐸𝐵共线设参数,利用解方程求出参数.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测证明设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝑅=r,𝐴𝑇=t,则𝐴𝐶=a+b.因为𝐴𝑅与𝐴𝐶共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b),n∈R.因为𝐸𝑅与𝐸𝐵共线,所以存在实数m,使得𝐸𝑅=m𝐸𝐵,m∈R.而𝐸𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝐸=a-12b,则𝐸𝑅=m𝑎-12𝑏.因为𝐴𝑅=𝐴𝐸+𝐸𝑅,所以n(a+b)=12b+m𝑎-12𝑏,即(n-m)a+𝑛+𝑚-12b=0.因为向量a,b不共线,于是有𝑛-𝑚=0,𝑛+𝑚-12=0,解得m=n=13,所以𝐴𝑅=13𝐴𝐶.同理𝐴𝑇=23𝐴𝐶.所以𝐴𝑅=𝑅𝑇=𝑇𝐶,故AR=RT=TC.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测方法点睛利用平面向量基本定理证明几何问题时,一般通过构造方程证明.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练用向量证明三角形三条中线交于一点.证明如图所示,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,则𝐵𝐶=b-a,𝐴𝐷=12(a+b),𝐵𝐸=12b-a,𝐶𝐹=12a-b.设AD交BE于点G1,则存在λ,μ∈R,有𝐴𝐺1=λ𝐴𝐷,𝐵𝐺1=μ𝐵𝐸,∴𝐴𝐺1=𝜆2(a+b),𝐵𝐺1=𝜇2b-μa,𝐴𝐺1=𝐴𝐵+𝐵𝐺1=a+𝜇2b-μa=(1-μ)a+𝜇2b,∴1-𝜇=𝜆2,𝜇2=𝜆2,∴λ=μ=23,即𝐴𝐺1=23𝐴𝐷.再设AD与CF相交于点G2,同理可得𝐴𝐺2=23𝐴𝐷.故G1点与G2点重合,即AD,BE,CF相交于同一点.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测1.点C在线段AB上,且𝐴𝐶=35𝐴𝐵,𝐴𝐶=λ𝐵𝐶,则λ为()A.23B.32C.-32D.-23答案:C解析:由题意,点C在线段AB上,且𝐴𝐶=35𝐴𝐵,因为𝐴𝐶=λ𝐵𝐶,所以𝐴𝐶=λ𝐵𝐶=λ(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=λ35𝐴𝐵-𝐴𝐵=-25𝜆𝐴𝐵,∴-25λ=35,∴λ=-32,故选C.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测2.已知a,b是不共线的向量,𝐴𝐵=λa+2b,𝐴𝐶=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.-2C.-2或1D.-1或2答案:D解析:∵A,B,C三点共线,∴存在实数k使得𝐴𝐵=k𝐴𝐶,∴λa+2b=k[a+(λ-1)b],𝜆=𝑘,2=𝑘(𝜆-1),解得λ=-1或2.故选D.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测3.△ABC中,E为AB边的中点,F为AC边的中点,BF交CE于点G.若𝐴𝐺=x𝐴𝐸+y𝐴𝐹,则xy等于()A.29B.13C.49D.43答案:C课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测解析:由题意知:G是△ABC的重心,延长AG与边BC交于点D.∴𝐴𝐺=23𝐴𝐷=13𝐴𝐵+13𝐴𝐶,又因为点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,故𝐴𝐵=2𝐴𝐸,𝐴𝐶=2𝐴𝐹,则𝐴𝐺=23𝐴𝐸+23𝐴𝐹,即x=y=23,∴xy=49.故选C.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测4.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且𝐵𝐶=a,𝐶𝐴=b,给出下列结论:①𝐴𝐷=-12a-b;②𝐵𝐸=a+12b;③𝐶𝐹=-12a+12b;④𝐸𝐹=12a.其中正确的结论的序号为.答案:①②③课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测解析:如图,𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=-b+12𝐶𝐵=-b-12a,①正确;𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=a+12b,②正确;𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐶𝐵=-b-a,𝐶𝐹=𝐶𝐴+12𝐴𝐵=b+12(-b-a)=12b-12a,③正确;④𝐸𝐹=12𝐶𝐵=-12a,④不正确.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测5.如图所示,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设𝐴𝐷=a,𝐴𝐵=b,试用a,b表示𝐷𝐶,𝐸𝐹,𝐹𝐶.解:因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点,所以𝐹𝐶=𝐴𝐷=a,𝐷𝐶=𝐴𝐹=12𝐴𝐵=12b.𝐸𝐹=𝐸𝐷+𝐷𝐴+𝐴𝐹=-12𝐷𝐶−𝐴𝐷+12𝐴𝐵=-12×12b-a+12b=14b-a.课堂篇探究学习