2019-2020学年九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质教学课件 （新版）沪科版

教学课件数学九年级下册沪科版第24章圆24.2圆的基本性质第1课时如图24-14，在平面内线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆.圆的概念:rOP固定的端点O叫做圆心，线段OP的长为r叫做半径.以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆”.图24-14从图24-14画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）平面内到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）的所有点都在同一个圆上.因此，圆可以看成平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.思考:注意:(1)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面)；(2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小).交流：平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？点与圆的位置关系符号读作等价于.它表示从符号的左边可以推出右边；同时从符号的右边也可以推出左边.（2）若点A在⊙O内OAr（3）若点A在⊙O外OAr（1）若点A在⊙O上OAr圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示.以A,B为端点的弧记作AB，读作弧AB.与圆有关的概念连接圆上的任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.注意：同圆中所有半径都相等圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧一叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧,与圆有关的概念由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.证明:连接AC,DB.例题分析：例1已知：如图24-17，AB,CD为⊙O的直径.求证：AD//CB.图24-17∵AB,CD为⊙O的直径∴OA=OB，OC=OD∴四边形ABCD为平行四边形.∴AD//CB1.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.FEDCBAOI,,,,ACDACFADEADC,,,.ACAEAFAD2.选择题（1）下列说法，正确的是（）。①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。A、①②B、②③C、②④D、③④答案：B（2）如图，在⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（）。A、2B、3C、4D、5OCBEAD答案：B1.从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少？23÷20=1.151.15÷2=0.575定义一：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。从运动和集合的观点理解圆的定义：定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。第2课时赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形等图形都具有对称性.那么圆是否具有对称性呢？根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？1.在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图24-18，你发现了什么？圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.垂径分弦A（B）DC图24-18ABDCOE图24-192.在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A,B,如图24-18.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A,B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB，如图24-19，这时直径CD与弦AB有怎么的位置关系？图24-18A（B）DC3.直径CD把劣弧分成与两部分，把优弧分成与两部分，这时与,与各有怎样的关系？ABDCOE图24-19¼ADB»AD»AD»DB¼ACB»DB»AC»AC»CB»CB垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧.垂径定理·OABDE图24-20CCD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BD圆心到弦的距离叫弦心距.例2如图24-21，⊙O的半径为5cm中，弦AB的长为6cm，求圆心O到AB的距离.).(435),(5).(321621,2222cmAEOAOEOEARTcmOAcmABEBAEEABOEOOA中，有在又，则垂足为，作过圆心解：连接平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1:EAB.O图24-21例3赵州桥（图24-22）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？图24-22解：如图，设半径为R，ABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.2AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.2得cm32cm328cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。ABOEABOEOABE1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为.·ABO∟C5cm2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为.DCABO(1)题(2)题12813cm方法归纳:1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。2.解决有关弦的问题时，经常（1）连结半径；（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。请围绕以下两个方面小结本节课：1、从知识上学习了什么？２、从方法上学习了什么？圆的轴对称性；垂径定理及其推论（１）垂径定理和勾股定理结合.（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线——过圆心作垂直于弦的线段；——连接半径.第3课时圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?复习引课圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.NO把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON'把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON'定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N'仍落在圆上.圆心角，弧，弦，弦心距间的关系·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA如图，∠AOB就是一个圆心角，OC就是弦心距.C弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？探究根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．因此，弧AB与弧A′B′重合，AB与A′B′重合．''.ABAB⌒AB⌒A′B′=同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦______；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧______．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．定理与例题1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.性质证明：∵=∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.ABCO例4如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.»AB»AC»AB»AC例5在图中，画出⊙O的两条直径，一次连接这两条直径的端点，得到一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由.解：这个四边形是矩形.理由:如图，AC、BD为⊙O的两条直径，则AC=BD，且AO=BO=CO=DO.连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD为矩形.AOCDB如图，AB是⊙O的径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDEBOC=COD=DOE=35180335AOE75解：⌒BC⌒CD==⌒DE⌒BC⌒CD==⌒DE第4课时复习引课〉类比确定直线的条件:〉经过一点可以作无数条直线；经过两点只能作一条直线.●A●A●B确定圆的条件〉思考1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?●O●A●O●O●O●O2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?有何特点？●A●B●O●O●O●O3.经过A,B,C.能不能作圆?〉2.过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？●A●B●O●O●O●O〉3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆?老师提示:能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？●B●C经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.┏●A经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.●O〉请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).〉以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.请你证明你做得圆符合要求.●B●C●A●O证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴⊙O就是所求作的圆,ED┏GF∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.这样的圆可以作出几个?为什么?〉定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆.〉在上面的作图过程中.老师期望:将这个结论及其证明作为一种模型对待.∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.●B●C●A●OED┏GF〉分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.老师期望:作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.ABC●OABCCAB┐●O●OABC过如下三点能不能作圆?为什么?过什么样的三点能作圆呢?为什么?假设过同一直线上三点A、B、C能作圆则AB的垂直平分线与BC的垂直平分线交于一点E这与过一点只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以过同一直线上三点能不能作圆.ABCE过如下三点能不能作圆?为什么?不在同一直线上的三点确定一个圆ABC2、已知△ABC，能用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.OABC解答提示：1、作AB的垂直平分线EF；2、作BC的垂直平分线MN交EF于O；3、以O为圆心OA为半径作圆，则过A、B、C.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·A