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教学课件数学九年级下册湘教版第1章二次函数1.3不共线三点确定二次函数的表达式(1)y=kx+b(k≠0)系数k待定找一个点确定一个方程解一元一次方程系数k,b待定找两个点两个方程解二元一次方程组y=kx(k≠0)y=(k≠0)xk1.什么是待定系数法？怎样用待定系数法确定函数解析式？2、二次函数的解析式怎样？要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？y=ax2+bx+c(a≠0)解：设二次函数表达式是：y=ax2+bx+cc=2a+b+c=04a-2b+c=3例1、已知一个二次函数的图象过点（0，2）、（1，0）、（-2，3）三点，求这个函数的表达式？把点(0，2)、(1，0)、(-2，3)代入表达式，得：解之得：21a=-23b=-c=2∴y=-x2-x+22321已知三点求二次函数的解析式。1.设y=ax2+bx+c2.代（三点）3.列（三元一次方程组）4.解5.写（回代，写成一般形式）（消元）解：设y=a(x＋1)2-3例2、已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与x轴交点为(0,-5)，求抛物线的解析式？y=-2(x＋1)2-3，即y=-2x2-4x-5y=-2(x2+2x+1)-3又抛物线与x轴交点为（0，-5）a-3=-5，得a=-2已知抛物线的顶点求表达式。“设”时，不设一般式，而设为“y=a(x-h)2+k”的形式（顶点式）。再把另一点代入，得一元一次方程。(1)已知抛物线y=x2+4x+3它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为.上x=-2（-2，-1）(-3,0)，(-1,0)（0，3）(2)二次函数y=3(x+1)2+4的顶点坐标为。(-1，4)(3)顶点为（0，0）且过点（1，-3）的抛物线的解析式为.y=-3x2(4)抛物线y=-x2-2x+m，若其顶点在x轴上，则m=.-1(5)写出一个图象经过原点的二次函数的表达式.y=x2y=-x2+3x1、填空巩固练习4、已知抛物线与x轴交于点M（-1,0）、（2,0），且经过点（1,2），求抛物线解析式．3、当自变量x=0时，函数值y=-2，当自变量x=-1时，函数值y=-1，当自变量x=1时，函数值y=1,求当自变量x=2时，函数值y是多少？y=2x2+x-22、二次函数的图象过点（-1,0）（2,0）（-3,5）求这个函数的表达式？5、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，1)，且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是(3，0)，求抛物线的表达式。设一般式a-b+c=04a+2b+c=09a-3b+c=5设一般式求出表达式，再求函数值。实际就是已知三点，求函数表达式。设顶点式，求解。6、某抛物线是将抛物线y=ax2向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线的表达式。顶点坐标（1，1）设y=a(x-1)2+17、已知抛物线对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），求该二次函数解析式。8、抛物线的图象经过（2，0）与（6，0）两点，其顶点的纵坐标是2，求它的函数关系式提示：由题意得x==422+6∴顶点坐标为（4，2）由顶点式可求得,y=-x2+4x-621设y=ax2+bx+c-=22aba+b+c=425a+5b+c=0设y=a(x-2)2+ka+k=49a+k=0今天我们学到了什么？1、求二次函数解析式的一般方法：.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。y=ax2+bx+c（a≠0）三个系数待定找三个点三个方程解三元一次方程组2、求二次函数解析式的常用思想：转化思想无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。解方程或方程组课堂小结1.3不共线三点确定二次函数的表达式(2)1、求二次函数解析式的一般方法：.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。y=ax2+bx+c（a≠0）三个系数待定找三个点三个方程解三元一次方程组2、求二次函数解析式的常用思想：转化思想无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。解方程或方程组3、求二次函数解析式的两种形式：一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k例1、已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B（1,0），且经过点C（2,8），求该二次函数解析式。解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解得a=2b=2c=-4∴y=2x2+2x-4想一想：还有更快更好的解法吗？由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,0)和(1，0)，设x1=-2，x2=1，将x1、x2分别代入二次函数解析式中可得y=0，x1、x2也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，方程可写成a(x-x1)(x-x2)=0形式。二次函数的解析式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，我们把这种解析式称为“交点式”。于是，二次函数的解析式也可得到以下这种形式：小结：二次函数的表达式有几种形式？已知抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B（1，0），且经过点C（2，8），求该二次函数解析式。解法二：设函数解析式为y=a(x+2)(x-1)，又抛物线经过点C(2,8)，则把点C(2,8)代入可得，8=a(2+2)(2-1)，解得a=2故解析式为y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4例2．已知二次函数图象经过点(1，4)、(-1，0)和(3，0)三点，求二次函数的表达式。（交点式）∵二次函数图象经过点(3，0)、(-1，0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)∵函数图象过点(1，4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，用交点式比较简便。（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)，则得：a+b+c=4a-b+c=09a+3b+c=0解得a=-1b=2c=3∴函数的解析式为y=-x2+2x+3∵抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴点(1，4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为y=a(x-1)2+4（顶点式）∵抛物线过点(-1，0)∴0=a(-1-1)2+4得，a=-1∴函数的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+34、已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3），求出对应的二次函数解析式。y=-x2+4x-35、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式？y=x2-4x-51、求经过三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的解析式.2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点C(2，5)，求其解析式。6、抛物线与x轴的一个交点坐标是(-1，0)，且当x=1时，函数有最大值为4，求此函数解析式。课堂练习7、已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。8、已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2，10)，求此函数的表达式。顶点坐标（1，-8）设y=a(x-1)2-89、已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。顶点坐标（1，-4）设y=a(x-1)2-410、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．y=-x2+x25158求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式y=ax2+bx+c已知图象的顶点坐标、对称轴和最值通常选择顶点式y=a(x-h)2+k已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2)。确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。课堂小结