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5.向心加速度1.理解速度变化量和向心加速度的概念。2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。一二三一、对圆周运动加速度的认识1.实例分析:(1)地球绕太阳做匀速圆周运动,地球受到了太阳对它的作用力,根据曲线运动的特点——做曲线运动的物体所受的合力总指向曲线内侧,这个力的方向是由地球指向太阳中心。一二三(2)细线系着小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动,显然,小球受到重力、桌面对它的支持力和细线的拉力三个力的作用。在竖直方向上小球平衡,故重力、支持力的合力为零,所以小球所受合力就等于细线的拉力,方向沿细线指向圆心。2.结论猜测:在前面的两个匀速圆周运动的实例中,物体所受的合力方向都指向圆心,所以物体的加速度也指向圆心。一二三二、速度的变化量Δv的求法:从同一点O作出物体在一段时间内的始末两个速度矢量v1和v2,从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端作出一个矢量Δv,矢量Δv就等于速度变化量,如图甲所示。在直线运动中,Δv与v的方向可以同向,也可以反向,如图乙、丙所示。一二三三、向心加速度1.定义:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心,这个加速度叫作向心加速度。2.方向:时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心。4.物理意义:描述线速度的方向改变快慢的物理量。地球上的物体随地球做匀速圆周运动时的向心加速度是指向地心吗?提示:不一定。应垂直于地轴并指向地轴。3.大小:an=𝑣2𝑟=𝜔2𝑟。一二一、向心加速度公式的推导如图所示,物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点,转过的角度为Δθ,物体在A点的速度为vA,在B点的速度为vB(vA和vB的大小均为v),速度的变化量为Δv。当Δt趋近于0时,Δθ也趋近于0,B点接近A点,Δv与vA垂直,指向圆心,所以向心加速度的方向沿半径指向圆心。一二因为vA、vB和Δv组成的三角形与△OAB是相似三角形,所以Δ𝑣𝐴𝐵=𝑣𝐴𝑟即Δv=𝐴𝐵·𝑣𝐴𝑟将上式两边同时除以Δt,得Δ𝑣Δt=𝐴𝐵Δt×𝑣𝐴𝑟等式左边Δ𝑣Δt即为向心加速度𝑎𝑛的大小,当Δt趋近于0时,𝐴𝐵Δt等于匀速圆周运动的线速度𝑣,代入上式整理得𝑎𝑛=𝑣2𝑟,将𝑣=𝜔𝑟代入上式可得𝑎n=𝜔2𝑟。温馨提示(1)根据加速度的定义a=Δ𝑣Δt及牛顿第二定律F=ma可知,Δv、a、F三个量的方向始终相同。(2)向心加速度不能改变速度的大小,只能改变速度的方向。一二二、对向心加速度的理解1.向心加速度是矢量,方向总是指向圆心,始终与速度方向垂直,故向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。2.向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度,而不是平均加速度。在匀速圆周运动中,加速度大小不变,方向始终指向圆心,这个加速度是指某时刻或某一位置的瞬时加速度,公式an=𝑣2𝑟中的𝑣是瞬时速度。一二3.向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。匀速圆周运动的向心加速度是实际加速度;对于非匀速圆周运动,例如竖直平面内的圆周运动,如图所示,小球的合力不指向圆心,因而其实际加速度也不指向圆心,此时向心加速度只是它的一个分加速度。一二(1)当线速度v一定时,an与r成反比;(2)当角速度ω一定时,an与r成正比。其函数关系如图所示。4.关于向心加速度的公式an=𝑣2𝑟=𝑟𝜔2一二温馨提示(1)匀速圆周运动是一种特殊的圆周运动,只有在匀速圆周运动中加速度方向才指向圆心。(2)匀速圆周运动是向心加速度大小不变、方向时刻改变的变加速运动。(3)物体做匀速圆周运动的条件是加速度大小不变,方向时刻与速度垂直,且指向圆心。类型一类型二类型三类型一对向心加速度的理解【例题1】(多选)关于向心加速度,以下说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直B.向心加速度的方向保持不变C.物体做匀速圆周运动时的加速度不变D.物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心解析:向心加速度的方向沿半径指向圆心,速度方向则沿圆周的切线方向,所以,向心加速度的方向始终与速度方向垂直,且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时,具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心,即加速度方向改变,大小不变,所以向心加速度是改变的。答案:AD类型一类型二类型三题后反思解该类问题的关键是分清匀速圆周运动加速度的特点。匀速圆周运动的加速度就是向心加速度,方向时刻指向圆心,它只改变线速度的方向。类型一类型二类型三类型二向心加速度公式中各物理量间的关系【例题2】(多选)右图是甲、乙两球做匀速圆周运动时,向心加速度随半径变化的图像,其中图线甲为双曲线的一个分支。由图像可以知道()A.甲球运动时,线速度大小保持不变B.甲球运动时,角速度大小保持不变C.乙球运动时,线速度大小保持不变D.乙球运动时,角速度大小保持不变点拨:根据图像提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系,再根据这个函数关系,结合向心加速度的计算公式作出判断。类型一类型二类型三解析:图线甲表明物体的向心加速度与半径成反比,由a=𝑣2𝑟可知,物体运动的线速度不变,选项A正确;图线乙表明物体的向心加速度与半径成正比,由a=ω2r可知,物体的角速度大小不变,选项D正确。答案:AD题后反思在利用图像解决物理问题时,要注意充分挖掘图像中所携带的信息,如:一个量随另一个量如何变化;变化的确切数量关系;斜率多大,其物理意义是什么;截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图像和具体的物理情景结合起来考虑,明确应该选取哪一个规律或公式解决问题。类型一类型二类型三类型三向心加速度的有关计算【例题3】滑板运动深受青少年的喜爱,如图所示,某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的14圆弧,该圆弧轨道在𝐶点与水平轨道相接,运动员滑到𝐶点时的速度大小为10m/s。求他到达𝐶点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)。点拨:运动员经过C点前、后的运动情况不同,前者做圆周运动,后者做匀速直线运动。类型一类型二类型三解析:运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动。由公式a=𝑣2𝑟得a1=1022.0m/s2=50m/s2,方向竖直向上。运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动,加速度a2=0。答案:50m/s2,方向竖直向上0题后反思本题解题的关键是判断出运动员到达C点前后的运动情况。物体在到达圆弧前、后的运动状态不同,加速度也就不同,切不可盲目套用公式。