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8.机械能守恒定律1.知道什么是机械能,知道物体的动能和势能可以相互转化。2.能够正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒,理解机械能守恒定律的内容,知道它的含义和适用条件。3.在具体问题中,能判定机械能是否守恒并能列出机械能守恒的方程式。一二一、动能和势能的相互转化1.动能与重力势能间的转化:(1)物体自由下落或沿光滑斜面下落时,重力对物体做正功,物体的重力势能减少,动能增加,物体原来具有的重力势能转化为动能。(2)原来具有一定速度的物体,由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面向上运动时,重力对物体做负功,物体原来具有的动能转化为重力势能。2.动能与弹性势能间的转化,如被压缩的弹簧可以把物体弹出去,这时弹力做正功,弹簧的弹性势能转化为动能。3.通过重力或弹力做功,机械能可以从一种形式转化为另一种形式。动能和势能统称为机械能。一二二、机械能守恒定律1.推导:一二2.机械能守恒定律:(1)内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变,这叫作机械能守恒定律。(2)表达式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。(3)机械能守恒的条件:除重力或弹力以外,其他力不做功或做功总和为零。一二斜向上弯弓射箭,箭从射出到最高点的过程中,分析能的转化情况。提示:弓的弹性势能转化为箭的动能。在上升中,箭的动能转化为重力势能。一二三四五一、机械能守恒定律的三种表达式角度公式意义注意事项守恒观点Ek1+Ep1=Ek2+Ep2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk=-ΔEp系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量,可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔEA增=ΔEB减若系统由A、B两物体组成,则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题一二三四五温馨提示后两种表达式由于研究的是变化量,无需选择零势能面,有些问题利用它们解题显得更加方便,但在具体问题中一定要搞清增加量和减少量。一二三四五二、机械能守恒条件的理解1.从能量特点看:只有系统动能和势能相互转化,无其他形式能量(如内能)之间转化,则系统机械能守恒。如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动,物体相互间有摩擦作用时,有内能产生,机械能一般不守恒。2.从机械能的定义看:动能与势能之和是否变化。如一个物体沿斜面匀速(或减速)滑下,动能不变(或减少),势能减少,机械能减少;一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒,沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒。一二三四五3.从做功特点看:只有重力和系统内的弹力做功。具体表现在:做功条件例证只有重力(或弹簧弹力)所有做抛体运动的物体(不计空气阻力),机械能守恒除重力、弹力外还受其他力,但其他力不做功如物体沿光滑的曲面下滑,尽管受到支持力,但支持力不做功只有重力和系统内的弹力做功如图中,小球在摆动过程中线的拉力不做功,如不计空气阻力,只有重力做功,小球的机械能守恒一二三四五做功条件例证只有重力和系统内的弹力做功如图中,A、B间,B与地面间摩擦不计,A自B上端自由下滑过程中,只有重力和A、B间弹力做功,A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说,A对B的弹力做功,但这个力对B来说是外力,B的机械能不守恒如图中,不计空气阻力,球在摆动过程中,只有重力和弹簧与球间的弹力做功,球与弹簧组成的系统机械能守恒,但对球来说,机械能不守恒一二三四五做功条件例证其他力做功,但做功的代数和为零如图所示,A、B构成的系统,忽略绳的质量与滑轮间的摩擦,在A向下、B向上运动过程中,FA和FB都做功,但WA+WB=0,不存在机械能与其他形式的能的转化,则A、B系统机械能守恒一二三四五温馨提示(1)机械能守恒的条件不是合力的功等于零,也不是合力等于零。(2)对单个物体从做功的力的特点去分析比较方便,对于物体系统从能量转化角度去分析相对比较简单。一二三四五特性理解系统性势能是系统的概念,只有系统才具有势能,从产生的条件来讲是由于系统内相互作用的物体与相对位置有关而具有的能,存在于保守力场中,像重力势能(属于地球和物体系统所有)、弹簧的弹性势能(属于弹簧和与之连接的物体所组成的系统所有)相对性机械能包含动能和势能,Ek=12𝑚𝑣2中涉及参考系的选择,𝐸p=𝑚𝑔ℎ中涉及零势能位置参考平面的选取,因此相对于不同的参考系和零势能面描述的结果不相同,涉及多个物体组成的系统或发生多个物理过程中,要选取统一的参考系和零势能面三、机械能守恒定律的“五性”一二三四五特性理解条件性理解“只有重力或弹力做功”的含义:①对某一个物体系统(物体和地球、弹簧组成的系统),只有重力或弹簧弹力做功,其他力不做功或做功的代数和为零。②对多物体系统(包括地球、弹簧),系统内只有重力或弹力做功;其他内力和外力不做功或做功的代数和为零。所以,运用机械能守恒定律解答问题的关键是判断系统的“条件性”,确定系统初状态和末状态的机械能。理解“条件性”,还应根据发生的物理过程,在不同的阶段,系统所包含研究对象的不同进行具体的分析一二三四五特性理解标量性机械能守恒定律是标量表达式,初、末状态的机械能可以为正值也可以为负值,依据零势能面的选取,重力势能的正负值表明的仅是在选定零势能面的上下方,不代表方向守恒性守恒性包含“不变”和“变”两层含义,“不变”是指整个系统机械能不变,“变”是指系统内部动能和势能之间必须发生相互转化,即ΔEk=-ΔEp;或者系统内各物体的机械能发生相互转移,即ΔEA=-ΔEB。系统内动能和势能的相互转化是通过保守力做功(像重力、弹簧的弹力做功)实现的,不同物体之间机械能的转移是通过系统内弹力做功实现的,但像摩擦力这样的耗散力充当内力时,系统的机械能部分转化为内能,即系统内一物体减少的机械能并不等于另一物体增加的机械能一二三四五四、应用机械能守恒定律解题的基本思路应用机械能守恒定律时,相互作用的物体间的力可以是变力,也可以是恒力,只要符合守恒条件,机械能就守恒,而且机械能守恒定律,只涉及物体系的初、末状态的物理量,而不需分析中间过程的复杂变化,使处理问题得到简化,应用的基本思路如下:1.选取研究对象——物体系或物体。2.根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。3.恰当地选取参考平面,确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。4.根据机械能守恒定律列方程,进行求解。一二三四五温馨提示系统的机械能守恒是指在整个过程中,系统的机械能始终不变(不仅仅是初态和末态的机械能相等),但在应用机械能守恒定律解决问题时,只需考虑运动的初状态和末状态,不必考虑两个状态间过程的细节。一二三四五五、机械能守恒定律和动能定理的比较比较内容机械能守恒定律动能定理表达式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA=-ΔEBW=ΔEk应用范围只有重力和弹力做功时无条件限制物理意义其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度合外力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)一二三四五温馨提示(1)除重力外还有其他力做功且做功不为零时,其他力做功数值等于机械能的变化量。(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件,所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。类型一类型二类型三类型四类型五类型一对机械能守恒条件的理解【例题1】关于机械能是否守恒,下列说法中正确的是()A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做圆周运动的物体机械能一定守恒C.做变速运动的物体机械能可能守恒D.合外力对物体做功不为零,机械能一定不守恒解析:做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体,如果在竖直方向及竖直平面内运动,则机械能不守恒,选项A、B错误;做变速运动的物体,如一切不计空气阻力的抛体运动,机械能都守恒,选项C正确;合外力对物体做功不为零,机械能可能守恒,如自由落体运动,选项D错误。答案:C类型一类型二类型三类型四类型五题后反思判断机械能是否守恒,关键看是否只有重力或弹力做功。机械能守恒常见的情况有:一是物体只受重力或弹力作用;二是物体虽然受到除重力或弹力以外的其他力的作用,但其他力不做功或做功的代数和为零。类型一类型二类型三类型四类型五类型二系统机械能守恒的判断【例题2】(多选)如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上,现将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法不正确的是()A.斜劈对小球的弹力不做功B.小球的机械能守恒C.斜劈与小球组成的系统机械能守恒D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量解析:不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统没有机械能之外的其他形式的能产生,系统机械能守恒。因斜劈的机械能增加,故小球的机械能减少,小球减少的重力势能转化为小球的动能和斜劈的动能。答案:ABD类型一类型二类型三类型四类型五题后反思判断机械能守恒时,对单个物体就看是否只有重力做功,并非只受重力也受其他力、但其他力不做功或做功代数和为零时,机械能也守恒;对由两个或几个物体组成的系统,在判断其机械能守恒时,就看是否只有重力或系统内弹力做功,若有其他外力或内力做功(如内部有摩擦等),则系统机械能不守恒。类型一类型二类型三类型四类型五类型三根据机械能守恒定律解题【例题3】如图所示,在水平台面上的A点,一个质量为m的物体以初速度v0被抛出,不计空气阻力,求它到达台面下h处的B点时速度的大小。点拨:运动过程中小球的机械能守恒,根据机械能守恒定律求解。类型一类型二类型三类型四类型五解析:解法一:物体在抛出后的运动过程中只受重力作用,机械能守恒。若选台面为参考面,则12𝑚𝑣02=−𝑚𝑔ℎ+12𝑚𝑣𝐵2解得vB=𝑣02+2𝑔ℎ。解法二:重力势能的减少量等于动能的增加量,则有mgh=12𝑚𝑣𝐵2−12𝑚𝑣02解得vB=𝑣02+2𝑔ℎ。答案:𝑣02+2𝑔ℎ题后反思运用机械能守恒定律解决问题,只需考虑运动的初、末状态,不必考虑两个状态间的过程细节,因此一些难以用牛顿运动定律解决的问题,根据机械能守恒定律则易于解决。类型一类型二类型三类型四类型五类型四系统机械能守恒的应用【例题4】如图所示,一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小球a和b。a球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后,求a球可能达到的最大高度为多少?点拨:b球落地之前,a和b组成的系统机械能守恒。b球落地后,a球单独上升的过程中,a球的机械能守恒。类型一类型二类型三类型四类型五解析:在b球落地前,a、b两球组成的系统机械能守恒,且a、b两球速度大小相等,设速度为v,则求解速度的方法如下:解法一:根据“守恒观点”ΔE初=ΔE末,取地面处的重力势能为零,则初状态系统的机械能为3mgh,末状态的机械能为mgh+12𝑚𝑣2+12×3𝑚𝑣2,根据机械能守恒定律有3mgh=mgh+12𝑚𝑣2+12×3𝑚𝑣2,解得v=𝑔ℎ。类型一类型二类型三类型四类型五解法二:根据“转化观点”系统减少的重力势能转化为系统的动能,即ΔEp=-ΔEk,则有3mgh-mgh=12𝑚𝑣2+12×3𝑚𝑣2解得v=𝑔ℎ。解法三:根据“转移观点”由题意可知,b球减少的机械能等于a球增加的机械能,即ΔEa=-ΔEb,则有3mgh−12×3𝑚𝑣2=𝑚𝑔ℎ+12𝑚𝑣2解得v=𝑔ℎ。b球落地时,a球高度为h,之后a球向上做竖直上抛运动,这个过程中机械能守恒,有12𝑚𝑣2=𝑚𝑔Δℎ,解得Δh=𝑣22𝑔=ℎ2,所以a球可能达到的最大高度为1.5h。答案:1.5h类型一类型二类型三类型四类型五题后反思从守恒的观点列方程,需要事先规定重力势能的参考平面;从转化或转移的角度来看,需要明确能量是从什么能转化为什么能、从哪一个物体转移到哪一个物体,这样,才能