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4.万有引力理论的成就1.了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系,计算地球质量。2.知道行星绕恒星运动、卫星绕行星运动的共同点:万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力;会用万有引力定律计算天体的质量。3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。一二一、计算天体的质量1.地球质量的计算利用地球表面的物体:若不考虑地球自转,质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg=𝐺𝑀𝑚𝑅2,则𝑀=𝑔𝑅2𝐺,只要知道𝑔、𝑅的值,就可计算出地球的质量。2.太阳质量的计算利用某一行星:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动,行星与太阳间的万有引力充当向心力,即𝐺𝑀𝑚𝑟2=4π2𝑚𝑟𝑇2,由此可得太阳质量𝑀=4π2𝑟3𝐺𝑇2,由此式可知只要测出行星绕太阳运动的周期𝑇和半径𝑟就可以计算出太阳的质量。一二3.其他行星的质量计算利用绕行星运转的卫星:若测出该卫星与行星间的距离r和转动周期T,同样据𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚2π𝑇2𝑟可得出行星的质量𝑀=4π2𝑟3𝐺𝑇2。一二1969年7月21日,美国宇航员阿姆斯特朗在月球上踏下了人类第一只脚印(如图所示),迈出了人类征服宇宙的一大步。已知月球半径为R。宇航员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F。怎样利用这个条件估测月球的质量?宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T,怎样利用这个条件估测月球质量?一二提示:设月球质量为M,则F=𝐺𝑀𝑚𝑅2,故M=𝐹𝑅2𝐺𝑚。设月球质量为M,由万有引力提供向心力,得𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚4π2𝑇2𝑅,𝑀=4π2𝑅3𝐺𝑇2。一二二、发现未知天体1.已发现天体的轨道计算:18世纪,人们观测到太阳系第七颗行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。2.根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没有发现的未知天体的轨道,如海王星、冥王星就是这样发现的。3.继续推算其他的未知天体:海王星和冥王星的轨道与计算结果有偏差,因此人们猜测在冥王星外还有未发现的大天体。一二三一、万有引力定律的应用总结项目内容说明或提示研究天体运动应用的公式F=𝐺Mmr2〔或𝐹=𝐺Mmr2=𝑚𝜔2𝑟=𝑚v2r=𝑚4𝜋2T2𝑟=𝑚(2π𝑓)2𝑟〕研究天体运动时,太阳系中的行星及其卫星的运动都可以看成是匀速圆周运动,它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力一二三项目内容说明或提示测天体质量M或天体密度ρ(1)天体质量:M=4𝜋2r3GT2(2)天体密度:ρ=MV=4𝜋2r3GT24𝜋R33=3𝜋r3GT2R3若卫星绕天体表面运行,则r=R,而有ρ=3𝜋GT2把卫星的运动看成匀速圆周运动,通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径,就可推算出天体的质量及天体的密度。特别是若卫星在天体表面环绕时,只要测出其环绕周期,就可以测出天体的密度一二三项目内容说明或提示研究天体表面物体重力应用的公式mg=𝐺MmR2例如月球表面物体的“重力”mg月=𝐺M月mR月2这里忽略了地球对月球表面物体的万有引力。其余天体上物体的重力以此类推(1)已知r月轨=60R地,可求g月轨=2.7×10-3m/s2(2)已知M月M地=181,R月R地=13.8可求出g月=1.74m/s2≈g地6可见,地球对月球轨道处物体的重力加速度远小于月球对其表面物体的重力加速度。所以在月球上,地球对物体的万有引力可以忽略,而只考虑月球对物体的万有引力作用温馨提示根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量。一二三二、计算中心天体质量和密度的方法项目方法已知量利用公式表达式计算质量利用运行天体r、TGMmr2=4𝜋2mrT2M=4𝜋2r3GT2r、vGMmr2=mv2rM=rv2Gv、TGMmr2=mv2r=4𝜋2mrT2M=v3T2𝜋G利用天体表面重力加速度g、RGMmR2=𝑚𝑔M=gR2G一二三项目方法已知量利用公式表达式计算密度利用运行天体r、T、RGMmr2=4𝜋2mrT2,M=43π𝑅3𝜌ρ=3𝜋r3GT2R3当r=R时,ρ=3𝜋GT2利用天体表面重力加速度g、RGMmR2=𝑚𝑔,M=43π𝑅3𝜌ρ=3g4𝜋GR温馨提示(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球,也适用于其他任何星体。注意方法的拓展应用。明确计算出的是中心天体的质量。(2)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径,r指行星或卫星的轨道半径。若绕近地轨道运行,则有R=r。一二三三、解决天体问题时应注意的问题1.所有做圆周运动的天体,如月球绕地球做圆周运动、地球绕太阳做圆周运动……它们所需要的向心力都来自万有引力。因此,向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式,即𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝑎式中的a是向心加速度,根据问题的条件可分别选用a=𝑣2𝑟,𝑎=𝜔2𝑟,𝑎=4π2𝑇2𝑟。一二三2.根据研究问题的实际情况,还可以利用物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力,即𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑔式中的R为地球(天体)的半径,g为地球(天体)表面物体的重力加速度。由上式可以得到GM=gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住,而g和R容易记住。所以粗略计算时,一般都采用上述代换(黄金代换),这就避开了引力常量G值和地球(天体)的质量M值,方便多了。一二三3.另外值得注意的是,在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时,只能测出中心天体的质量,而环绕天体的质量在方程式中被消掉了。4.应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件。如地球公转一周是365天,自转一周是24小时,其表面的重力加速度约为9.8m/s2等。类型一类型二类型三类型一天体的运行规律【例题1】我国于2016年9月15日发射了天宫二号空间实验室,2016年10月17日发射了神舟十一号飞船,并在10月19日神舟十一号与天宫二号实现对接。某同学得知上述消息后,画出天宫二号和神舟十一号绕地球做匀速圆周运动的假想图如图所示,虚线为各自的轨道。由此假想图,可以判定()A.天宫二号的运行速率小于神舟十一号的运行速率B.天宫二号的周期小于神舟十一号的周期C.天宫二号的向心加速度大于神舟十一号的向心加速度D.天宫二号的角速度大于神舟十一号的角速度类型一类型二类型三解析:由𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝑣2𝑟得v=𝐺𝑀𝑟,故天宫二号的运行速率小于神舟十一号的运行速率,选项A正确;由𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚4π2𝑇2𝑟得T=2π𝑟3𝐺𝑀,故天宫二号的周期大于神舟十一号的周期,选项B错误;由𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝑎得a=𝐺𝑀𝑟2,天宫二号的向心加速度小于神舟十一号的向心加速度,选项C错误;由𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚𝜔2𝑟得𝜔=𝐺𝑀𝑟3,故天宫二号的角速度小于神舟十一号的角速度,选项D错误。答案:A类型一类型二类型三题后反思解决该类问题要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型,就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征,即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论:在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中,只有周期的值随着轨道半径的变大而增大,其余的三个都随轨道半径的变大而减小。类型一类型二类型三类型二天体质量的计算【例题2】我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施,用十年左右的时间完成,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,现请你解答:(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回到抛出点。已知月球半径为R',引力常量为G。试求出月球的质量M'。点拨:月球绕地球运动时,万有引力提供向心力。求月球的质量时,应先根据竖直上抛运动的规律,求得月球表面的重力加速度,再根据物体在月球表面时受的万有引力和重力相等求出月球的质量。类型一类型二类型三解析:(1)设地球质量为M,月球质量为M‘,根据万有引力定律和向心力公式𝐺𝑀𝑀'𝑟2=𝑀′2π𝑇2𝑟在地球表面有𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑔,解得r=gR2T24𝜋23。(2)设月球表面处的重力加速度为g',根据题意t=2v0g'又𝐺M'mR'2=𝑚𝑔′,解之得M'=2v0R'2Gt。答案:(1)gR2T24𝜋23(2)2v0R'2Gt类型一类型二类型三题后反思求天体质量的方法主要有两种:一种是根据重力等于万有引力,即mg=𝐺𝑀𝑚𝑅2,求得M=𝑔𝑅2𝐺;另一种是根据万有引力等于向心力,即𝐺𝑀𝑚𝑟2=𝑚2π𝑇2𝑟,求得M=4π2𝑟3𝐺𝑇2。当然,无论哪种方法都只能求中心天体的质量。类型一类型二类型三类型三天体密度的计算【例题3】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1。已知引力常量为G,则该天体的密度为多少?若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少?点拨:在利用万有引力定律和圆周运动知识求解时,应注意区分天体半径和轨道半径。类型一类型二类型三解析:设卫星的质量为m,天体的质量为M。卫星贴近天体表面运动时有𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚4π2𝑇12𝑅解得M=4π2𝑅3𝐺𝑇12根据数学知识可知星球的体积V=43π𝑅3故该星球密度ρ=𝑀𝑉=4π2𝑅3𝐺𝑇12·43π𝑅3=3π𝐺𝑇12卫星距天体表面距离为h时有𝐺𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2=𝑚4π2𝑇22(𝑅+ℎ)解得M=4π2(𝑅+ℎ)3𝐺𝑇22星球密度ρ=𝑀𝑉=4π2(𝑅+ℎ)3𝐺𝑇22·43π𝑅3=3π(𝑅+ℎ)3𝐺𝑇22𝑅3。答案:3π𝐺𝑇123π(𝑅+ℎ)3𝐺𝑇22𝑅3类型一类型二类型三题后反思利用公式M=4π2𝑟3𝐺𝑇2计算天体的质量,再利用ρ=𝑀43π𝑅3计算天体的密度,注意r是指天体运动的轨道半径,而R是指中心天体的半径,只有贴近中心天体运行时才有r=R。触类旁通行星的平均密度为ρ,靠近行星表面的卫星的周期为T,试证明ρT2为一个常数。解析:设行星的半径为R,对卫星有𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚4π2𝑇2𝑅,解得M=4π2𝑅3𝐺𝑇2,则𝜌=𝑀𝑉=4π2𝑅3𝐺𝑇243π𝑅3=3π𝐺𝑇2,所以ρT2=3π𝐺,得证。答案:见解析