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3.万有引力定律1.了解牛顿对万有引力的猜想,能够进行月地检验。2.能够复述万有引力定律的内容,能够写出万有引力定律的表达式及引力常量的值。3.能够应用万有引力定律进行相关的运算和分析。一二一、月—地检验1.牛顿的猜想地球与太阳之间的吸引力与地球对周围物体的引力可能是同一种力,遵循相同的规律。2.猜想的依据(1)行星与太阳之间的引力使行星不能飞离太阳,物体与地球之间的引力使物体不能离开地球;(2)在离地面很高的距离内,都不会发现重力有明显地减弱,那么这个力必定延伸到很远的地方。一二4.检验的结果地面物体所受的地球引力、月球所受的地球引力,以及太阳与行星间的引力都遵循相同的规律。3.检验的方法根据已知的地球与月球之间的距离r、月球转动的周期T,由a=ω2r=4π2𝑟𝑇2,可计算出月球的向心加速度,再依据月球轨道半径约为地球半径的60倍和地球表面的重力加速度𝑔进行分析,看月球的加速度𝑎是否满足𝑎=𝑔602。一二我们知道月球围绕地球运动。试问月球为什么长期围绕地球运动,而没有投入到地球的怀抱?提示:地球与月球之间存在着引力,转动的月球既不会弃地球而去,也不会投向地球的怀抱,是因为地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力,使月球不停地绕地球运动。一二二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。3.引力常量:(1)大小:G=6.67×10-11N·m2/kg2;(2)测定:英国物理学家卡文迪许比较准确地测出了G的数值。2.公式:F=𝐺𝑚1𝑚2𝑟2。一二一、对万有引力定律的理解1.适用条件(1)万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用,当两个物体间的距离比物体本身大得多时,也可用此公式近似计算两物体间的万有引力。(2)质量分布均匀的球体间的相互作用,也可用万有引力定律公式来计算,式中r是两个球体球心间的距离。(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算,式中的r是球体球心到质点的距离。一二2.特点特点内容普遍性万有引力定律是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力,它是自然界的物体间的基本相互作用之一相互性两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力,符合牛顿第三定律宏观性通常情况下,万有引力非常小,只有在质量巨大的天体间或天体与物体间,它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中,粒子的质量都非常小,粒子间的万有引力很不显著,万有引力可以忽略不计特殊性两个物体间的万有引力,只与它们本身的质量、它们之间的距离有关,和所在的空间的性质无关,和周围有无其他物体的存在无关一二3.引力常量G(1)卡文迪许扭秤的设计原理:卡文迪许扭秤的工作原理是利用大球和小球间产生力矩,此力矩与金属丝力矩平衡。万有引力力矩使T形架转动,T形架转动时带动平面镜也发生转动,进而使入射到镜面上的光线发生偏转,从刻度尺上读出光线偏转时移动的距离,进而计算偏转角度,利用金属丝扭转力矩和扭转角度的关系,求出扭转力矩,从而求出大球和小球间的万有引力,利用F=𝐺𝑀𝑚𝑟2,即𝐺=𝐹𝑟2𝑀𝑚,求出𝐺。(2)测定G值的意义:①证明了万有引力的存在;②使万有引力定律有了真正的实用价值。一二温馨提示(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力。(2)任何有质量的物体间都存在万有引力,一般情况下,质量较小的物体之间万有引力忽略不计,只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力。一二二、万有引力和重力的区别和联系1.万有引力的效果如图所示,地球上的物体受到的万有引力F=𝐺𝑀𝑚𝑅2的效果有两个,一个是重力𝑚𝑔,另一个是物体随地球自转需要的向心力𝐹𝑛=𝑚𝑟𝜔2,所以重力是万有引力的一个分力。一二2.重力与纬度的关系(把地球看成均匀球体)地面上物体的重力随纬度的升高而变大。(1)赤道上:重力和向心力在一条直线上F=Fn+mg,即𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑟𝜔2+𝑚𝑔,所以𝑚𝑔=𝐺𝑀𝑚𝑅2−𝑚𝑟𝜔2。(2)地球两极处:向心力为零,所以mg=F=𝐺𝑀𝑚𝑅2。(3)其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg𝐺𝑀𝑚𝑅2,重力的方向偏离地心。一二3.重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小。一般情况下认为在地面附近:mg=𝐺𝑀𝑚𝑅2,若距离地面的高度为ℎ,则𝑚𝑔=𝐺𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2𝑅为地球半径,𝑔为离地面ℎ高度处的重力加速度,所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小。温馨提示(1)物体随地球自转时,由于地球自转角速度很小,因此物体转动需要的向心力很小,一般情况下,认为重力约等于万有引力,即mg=𝐺𝑀𝑚𝑅2。(2)对于地球的卫星,所受重力等于万有引力,即mg=𝐺𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2。类型一类型二类型三类型一对万有引力定律的理解【例题1】对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F=𝐺𝑚1𝑚2𝑟2,下列说法正确的是()A.m1和m2所受引力总是大小相等的B.当两物体间的距离r趋于零时,万有引力无穷大C.当有第3个物体m3放入m1、m2之间时,m1和m2间的万有引力将增大D.m1和m2所受的引力性质可能相同,也可能不同点拨:物体间的万有引力符合牛顿第三定律,公式F=𝐺𝑚1𝑚2𝑟2适用于计算质点间的万有引力。类型一类型二类型三解析:物体间的万有引力是一对相互作用力,始终等大反向,故A对;当物体间距离趋于零时,物体就不能看成质点,因此万有引力定律不再适用,物体间的万有引力不会变得无穷大,B错;物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和物体间的距离r有关,与是否存在其他物体无关,故C错;物体间的万有引力是一对同性质的力,D错。答案:A题后反思本题易错选B,即忽视了万有引力定律的适用条件,当两物体无限靠近时,不能再用公式F=𝐺𝑀𝑚𝑟2计算它们间的万有引力。类型一类型二类型三类型二万有引力的计算【例题2】要使两物体(两物体始终可以看作质点)间万有引力减小到原来的18,可采用的方法是()A.使两物体的质量各减为原来的12,距离保持不变B.使两物体质量各减为原来的12,距离增至原来的2倍C.使其中一个物体质量减为原来的12,距离增至原来的2倍D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的12解析:根据万有引力定律公式F=𝐺𝑚1𝑚2𝑟2可知,选项C正确。答案:C题后反思正确理解和应用万有引力定律是解决此类问题的关键。类型一类型二类型三触类旁通一探月卫星在地月转移轨道上运行,某一时刻正好处于地心和月心的连线上,卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1。已知地球与月球的质量之比约为81∶1,则该处到地心与到月心的距离之比约为()A.81∶4B.9∶1C.9∶2D.9∶4解析:卫星受到地球和月球的万有引力分别为F地=𝐺𝑀地𝑚𝑅地2,𝐹月=𝐺𝑀月𝑚𝑅月2,代入题目给定的数据可得R地∶R月=9∶2。答案:C类型一类型二类型三点拨:地球表面的重力加速度和在离地心距离为4R处的重力加速度均由地球对物体的万有引力产生,在不考虑地球自转的情况下,物体在某一位置所受万有引力跟其重力相等。类型三求某位置的重力加速度【例题3】设地球表面的重力加速度为g0,物体在距离地心4R(R是地球的半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则𝑔𝑔0为()A.1B.19C.14D.116类型一类型二类型三解析:在地面上有𝐺𝑀𝑚𝑅2=𝑚𝑔0①在离地心4R处有𝐺𝑀𝑚(4𝑅)2=𝑚𝑔②由①②两式得𝑔𝑔0=𝑅4𝑅2=116。答案:D题后反思求比例关系时,可先写出一般表达式,找出相关量间的正比或反比关系等,如由g=𝐺𝑀𝑅2得g∝𝑀𝑅2,然后再求比值,此比例解法使题目解起来更简捷。从本题可以知道,物体离地面越远,地球对它的引力越小,重力、重力加速度越小,但重力近似与万有引力相等。