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4匀变速直线运动的速度与位移的关系1.知道匀变速直线运动物体的速度与位移的关系,会用公式解决实际问题。2.知道匀变速直线运动其他的一些扩展公式。3.把握匀变速直线运动的规律,灵活运用各种公式解决实际问题。一二一、匀变速直线运动的位移与速度的关系1.位移与速度的关系式:v2−𝑣02=2𝑎𝑥,若𝑣0=0,则𝑣2=2𝑎𝑥。2.公式推导:速度公式:𝑣=𝑣0+𝑎𝑡位移公式:𝑥=𝑣0𝑡+12𝑎𝑡2位移与速度关系式:𝑣2−𝑣02=2𝑎𝑥。一二二、匀变速直线运动的三个基本公式1.速度公式:v=v0+at。2.位移公式:x=v0t+12𝑎𝑡2。3.速度与位移关系式:v2−𝑣02=2𝑎𝑥。一二三一、对公式v2−𝑣02=2𝑎𝑥的理解1.适用条件公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。2.意义公式v2−𝑣02=2𝑎𝑥反映了初速度𝑣0、末速度𝑣、加速度𝑎、位移𝑥之间的关系,当其中三个物理量已知时,可求另一个未知量。一二三3.公式的矢量性公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。(1)物体做加速运动时,a取正值,做减速运动时,a取负值。(2)位移x0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x0,说明位移的方向与初速度的方向相反。4.两种特殊形式(1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)(2)当v=0时,−𝑣02=2𝑎𝑥。(末速度为零的匀减速直线运动)温馨提示(1)利用公式v2−𝑣02=2𝑎𝑥求解速度时,通常有两个解,要对两个解的含义及合理性进行讨论。(2)由于刹车问题末速度为零,应用此公式解题往往更方便。一二三二、匀变速直线运动的几个规律1.中间位置的速度与初、末速度的关系在匀变速直线运动中,某段位移x的初、末速度分别是v0和v,加速度为a,中间位置的速度为𝑣𝑥2,根据速度与位移关系式,前一半位移有𝑣𝑥22−𝑣02=2𝑎𝑥2,后一半位移有𝑣2−𝑣𝑥22=2𝑎𝑥2,联立两式有𝑣𝑥22−𝑣02=𝑣2−𝑣𝑥22,所以𝑣𝑥2=𝑣02+𝑣22。一二三2.由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例关系等分时间(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。(2)1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2。(3)第一个T内,第二个T内,第三个T内……第N个T内位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。等分位移(4)通过前x、前2x、前3x……位移时的速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶⋯∶𝑛。一二三(5)通过前x、前2x、前3x……的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶2∶3∶⋯∶𝑛。(6)通过连续相等的位移所用时间之比tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn=1∶(2−1)∶(3−2)∶⋯∶(𝑛−𝑛-1)。温馨提示(1)以上比例关系成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动。(2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,应用比例关系,可使问题简化。一二三三、应用匀变速直线运动公式和推论解题时应注意以下几点1.匀变速直线运动常用公式的比较项目一般形式v0=0涉及的物理量应用特点速度公式v=v0+atv=atv、v0、a、t处理不涉及位移x的问题时方便位移公式x=v0t+12𝑎𝑡2x=12𝑎𝑡2x、v0、t、a处理不涉及末速度v的问题时方便位移、速度关系公式v2−v02=2axv2=2axv、v0、a、x处理不涉及时间t的问题时方便平均速度求位移公式x=v0+v2𝑡x=v2𝑡x、v0、v、t处理不涉及加速度a的问题时方便一二三(1)这四个公式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、时间t、位移x这五个物理量,每个公式涉及其中的四个量。四个公式中只有两个是独立的,即由任意两式可推出另外两式,而两个独立方程只能解出两个未知量,所以解题时需要三个已知条件才能求解。(2)式中v0、v、a和x均为矢量,应用时要规定正方向(通常将v0的方向规定为正方向),并注意各物理量的正负。一二三2.匀变速直线运动规律公式间的关系一二三3.匀变速直线运动规律公式的“三性”(1)条件性:适用条件必须是物体做匀变速直线运动。(2)矢量性:基本公式和平均速度公式都是矢量式。(3)可逆性:由于物体运动条件不同,解题时可进行逆向转换。温馨提示(1)求解运动学问题要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。特别对较复杂的运动,画出草图可使运动过程更直观,便于分析研究。(2)分析研究对象的运动过程,要搞清整个运动过程按运动性质的不同可划分为哪几个运动阶段,各个阶段遵循什么规律,各个阶段之间存在什么联系,以便于选择恰当的公式分析求解。类型一类型二类型三类型四类型一公式v2−𝑣02=2ax的应用【例题1】汽车以10m/s的速度行驶,刹车后的加速度大小为3m/s2,求它向前滑行12.5m后的瞬时速度的大小。点拨:本题只有初速度、加速度、位移几个已知量,待求量为末速度,可以考虑直接利用位移速度关系式求解。解析:v0=10m/s,a=-3m/s2,x=12.5m,所以v1=5m/s,v2=-5m/s(舍去)即汽车向前滑行12.5m后的瞬时速度大小为5m/s。答案:5m/s由v2−𝑣02=2𝑎𝑥得v2=𝑣02+2𝑎𝑥=102m2/s2+2×(-3)×12.5m2/s2=25m2/s2类型一类型二类型三类型四题后反思速度是矢量,求解速度不但要计算出大小,还应依据正负号说明其方向。再者,求解物理问题,还应该联系实际,依据实际情况对答案进行判断,作出取舍。本题中,汽车刹车,不可能出现反方向后退情况,故舍去v2=-5m/s。触类旁通当汽车速度减小为8m/s时,滑行了多远?解析:由v2−𝑣02=2𝑎𝑥,代入数据解得x=6m。答案:6m类型一类型二类型三类型四类型二匀变速直线运动规律的综合应用【例题2】一物体以4m/s的速度滑上光滑的斜面,途经A、B两点,已知物体在A点时速度是在B点时速度的2倍,由B再经0.5s物体滑至斜面顶点C时速度恰为零,如图所示。若已知AB=0.75m,求物体由底端D点滑至B点所需的时间。点拨:物体沿斜面做匀减速运动,只要求出物体的加速度和经过B点时的速度,再结合运动学公式即可求得结果。类型一类型二类型三类型四解析:设物体的加速度为a,B点瞬时速度为vB=v,则A点瞬时速度为vA=2v,从B到C有0=vB+at1代入数据解得a=-2m/s2v=1m/s物体由底端D滑至B点vB=vD+at所需的时间t=1.5s。答案:1.5s从A到B有𝑣𝐵2−𝑣𝐴2=2𝑎𝑥类型一类型二类型三类型四题后反思运动学问题的一般解题思路:(1)弄清题意,建立一幅物体运动的图景,尽可能地画出草图,并在图中标明一些位置和物理量。(2)弄清研究对象,明确哪些量已知,哪些量未知,根据公式特点恰当选用公式。(3)列方程、求解,必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合。类型一类型二类型三类型四类型三特殊规律的应用【例题3】有一个做匀变速直线运动的质点,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为24m和64m,连续相等的时间为4s,求质点的初速度和加速度的大小。点拨:匀变速直线运动的所有推论都是在基本公式的基础上推理得到的,灵活运用各种推论能使解题过程简化。类型一类型二类型三类型四解析:画出运动过程草图,如图所示。解法一:由匀变速直线运动的位移公式求解。两段连续相等的时间t=4s,通过的位移分别为x1=24m,x2=64m。题中只涉及位移和时间,故对前一过程和整个过程分别应用位移公式,可得x1=vAt+12𝑎𝑡2x1+x2=vA·(2t)+12𝑎·(2t)2由以上两式解得质点的加速度a=𝑥2-𝑥1𝑡2=64-2442m/s2=2.5m/s2质点的初速度vA=2𝑥1-𝑎𝑡22𝑡=2×24-2.5×422×4m/s=1m/s。类型一类型二类型三类型四解法二:利用推论求解。解法三:用平均速度公式求解。AB段的平均速度为v平均1=𝑥1𝑡=244m/s=6m/s,且有v平均1=𝑣𝐴+𝑣𝐵2BC段的平均速度为v平均2=𝑥2𝑡=644m/s=16m/s,且有v平均2=𝑣𝐵+𝑣𝐶2另有vB=𝑣𝐴+𝑣𝐶2=𝑣平均1+𝑣平均22=6+162m/s=11m/s由以上各式可得vA=1m/s,vC=21m/sa=𝑣𝐶-𝑣𝐴2𝑡=21-12×4m/s2=2.5m/s2。由公式Δx=at2得a=Δ𝑥𝑡2=𝑥2-𝑥1𝑡2=64-2442m/s2=2.5m/s2再由公式x1=vAt+12𝑎𝑡2得vA=1m/s。类型一类型二类型三类型四答案:1m/s2.5m/s2题后反思有关匀变速直线运动的公式、规律比较多,在分析问题时,有可能会出现多种不同的解法,但不同的解法简便程度不相同,这就需要在解题时灵活地选用公式,弄清题目中的已知量和未知量,尽量多运用匀变速运动的有关推论求解。类型一类型二类型三类型四类型四追及、相遇问题【例题4】某一长直的赛道上有一辆赛车,其前方Δx=200m处有一安全车正以v0=10m/s的速度匀速前进,这时赛车从静止出发以a=2m/s2的加速度追赶。试求:(1)赛车追上安全车之前,从开始运动起经过多长时间与安全车相距最远?最远距离为多少?(2)赛车经过多长时间追上安全车?(3)当赛车刚追上安全车时,赛车手立即刹车,使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动,问两车再经过多长时间第二次相遇?(设赛车可以从安全车旁经过而不发生碰撞)类型一类型二类型三类型四点拨:开始时安全车的速度大于赛车的速度,两者之间的距离变大,当赛车的速度大于安全车的速度后,两者之间的距离减小,因此当两车速度相等的时候,间隔距离最大。赛车追上安全车时,两车在同一位置,根据两车的位移关系列方程求解。在判断两车第二次相遇时,应注意赛车减速到零时的时间。解析:(1)当两车速度相等时相距最远,以赛车为研究对象,有v0=at1解得t1=5s安全车位移x2=v0t1=10×5m=50m两车之间距离x=x2+Δx-x1=50m+200m-25m=225m。此过程中赛车位移x1=12𝑎𝑡12=12×2×52m=25m类型一类型二类型三类型四(2)设赛车经过时间t2追上安全车,则有12𝑎𝑡22−Δ𝑥=𝑣0𝑡2解得t2=20s。(3)第一次相遇时赛车的速度v=at2=2×20m/s=40m/s设从第一次相遇起再经过时间t0两车再次相遇,则vt0+12𝑎′𝑡02=𝑣0𝑡0解得t0=15s但赛车速度从40m/s减为0只需10s,所以两车第二次相遇时赛车是静止的,设两车第二次相遇的时间为t,则有𝑣22𝑎'=𝑣0𝑡解得t=20s。答案:(1)5s225m(2)20s(3)20s类型一类型二类型三类型四题后反思(1)追及问题的分析方法:①根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参考系,列出两个物体的位移方程。②找出两个物体在运动时间上的关系。③找出两个物体在位移上的关系。(2)追及问题中常用的临界条件:①速度小者(但加速度大)追速度大者(但加速度小),追上前两个物体速度相等时,有最大距离。②速度大者(但加速度小)追速度小者(但加速度大),追上前两个物体速度相等时,有最小距离。即必须在此之前追上,否则就追不上。