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3匀变速直线运动的位移与时间的关系1.认识什么是匀变速直线运动,并知道匀变速直线运动的分类。2.理解匀变速直线运动的x-t图像特点。3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。4.会用速度公式解决简单的匀变速直线运动问题。一二一、匀速直线运动的位移1.位移公式:x=vt。2.用图像表示位移:做匀速直线运动的物体,其v-t图像是一条平行于时间轴的直线,如图所示。其位移在数值上等于v-t图像与对应的时间轴所包围的矩形的面积。一二二、匀变速直线运动的位移1.位移公式:x=v0t+12𝑎𝑡2。(1)公式中x、v0、a均是矢量(选填“矢量”或“标量”),应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正负值。(2)当v0=0时,x=12𝑎𝑡2,表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。(3)当a=0时,x=v0t,表示匀速直线运动的位移与时间的关系。一二2.位移在v-t图像中的表示:做匀变速直线运动的物体的位移对应着图像和时间轴包围的面积。如图所示,在0~t时间内的位移大小等于阴影部分的面积。一二3.公式推导:如图所示,梯形OABC的面积S=12(𝑂𝐶+𝐴𝐵)𝑂𝐴,用相应的物理量表示为x=12(𝑣0+𝑣)𝑡①v=v0+at②由方程①②可得x=v0t+12𝑡2。一二三一、利用速度图像求匀变速直线运动的位移1.匀速直线运动v-t图像的启发物体做匀速直线运动的位移,在数值上等于速度图线与时间轴所围的面积,如左图所示。⇩在匀变速直线运动中,速度时刻变化,它的位移与它的v-t图像是不是也像匀速直线运动的那样有类似的关系呢?⇩一二三在匀变速直线运动中,有Δv=a·Δt,Δt很小时,可看成匀速运动。如图所示,匀变速直线运动在一段时间内的位移等于各个小矩形面积之和。时间Δt越短,速度变化量Δv就越小,我们这样计算的误差就越小。一二三当Δt→0时,各矩形面积之和趋近于v-t图线与时间轴所围的面积。把面积及各线段换成所代表的物理量,得到位移公式x=12(𝑣0+𝑣)𝑡,把𝑣=𝑣0+𝑎𝑡代入得:𝑥=𝑣0𝑡+12𝑎𝑡2。一二三2.关于“面积”的几点说明(1)对于任何形式的直线运动的v-t图像中图线与时间轴所围的面积都等于物体的位移,如图所示。(2)当速度为正值时,速度图线在时间轴的上方,图线与时间轴所围的面积也在时间轴之上,表示物体的位移沿着正方向;当速度为负值时,速度图线在时间轴的下方,图线与时间轴所围的面积也在时间轴之下,表示物体的位移沿着负方向。一二三3.极限思想极限思想是近代数学的一种重要思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。这种思想在很多学科里也有广泛的应用。一二三2.注意公式的矢量性。公式x=v0t+12𝑎𝑡2中,𝑥是位移,而不是路程,𝑣0、𝑎也是矢量,有方向性。如果是匀加速直线运动,𝑎为正值;如果是匀减速直线运动,𝑎为负值,此时公式也可以表示为𝑥=𝑣0𝑡−12𝑎𝑡2,其中的𝑎仅为大小。3.位移的大小是时间的二次函数,所以匀变速直线运动的x-t图像是曲线。二、对位移公式x=v0t+12𝑎𝑡2的理解1.公式表述的是匀变速直线运动的位移与时间的关系,适用于匀变速直线运动,包括匀加速和匀减速直线运动。一二三4.初速度等于零的匀加速直线运动,位移公式可以写成x=12𝑎𝑡2,位移的大小与时间的二次方成正比。温馨提示运用初中数学中学到的二次函数知识,可以画出匀变速直线运动x=v0t+12𝑎𝑡2的位移图像的草图,如图所示,当v0=0时,图线为通过原点的抛物线的一部分。这是匀加速直线运动的位移图像,抛物线的开口向上;当物体做匀减速直线运动时,抛物线的开口向下。应注意位移图像描述的是物体的位移与时间的关系,它并不表示物体实际运动的轨迹。一二三三、匀变速直线运动的两个重要推论1.平均速度做匀变速直线运动的物体,在一段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。推导:设物体的初速度为v0,做匀变速直线运动的加速度为a,t时刻的速度为v。一二三由x=v0t+12𝑎𝑡2得①平均速度𝑣=𝑥𝑡=𝑣0+12𝑎𝑡②由速度公式v=v0+at知当t'=𝑡2时,𝑣𝑡2=𝑣0+𝑎𝑡2③由②③得𝑣=𝑣𝑡2④又v=𝑣𝑡2+𝑎𝑡2⑤联立以上各式解得𝑣𝑡2=𝑣0+𝑣2,所以𝑣=𝑣𝑡2=𝑣0+𝑣2。一二三2.逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T内,位移之差是一个常量,即Δx=xⅡ-xⅠ=aT2推导:时间T内的位移x1=v0T+12𝑎𝑇2①在时间2T内的位移x2=v0·2T+12𝑎(2𝑇)2②则xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1③由①②③得Δx=xⅡ-xⅠ=aT2此推论常有两方面的应用:一是用以判断物体是否做匀变速直线运动,二是用以求加速度。类型一类型二类型三类型一匀变速直线运动位移公式的应用【例题1】一辆卡车初速度为v0=10m/s,以a=2m/s2的加速度行驶,求:(1)卡车在3s末的速度v3;(2)卡车在6s内的位移x6与平均速度v;(3)卡车在第6s内的位移x。点拨:卡车做匀加速直线运动,根据速度公式可求得3s末的速度,根据位移公式可求得6s内的位移。第6s内的位移等于前6s内的位移减去前5s内的位移。类型一类型二类型三解析:(1)3s末的速度v3=v0+at3=10m/s+2×3m/s=16m/s。(2)6s内的位移x6=v0t6+12𝑎𝑡62=10×6m+12×2×36m=96m6s内的平均速度v=𝑥6𝑡6=966m/s=16m/s。(3)5s内的位移x5=v0t5+12𝑎𝑡52=10×5m+12×2×25m=75m所以第6s内的位移x=x6-x5=21m。答案:(1)16m/s(2)96m16m/s(3)21m题后反思正确应用匀变速直线运动的速度公式和位移公式是解决本题的关键。类型一类型二类型三类型二用v-t图像分析问题【例题2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内()A.汽车甲的平均速度比乙大B.汽车乙的平均速度等于𝑣1+𝑣22C.甲、乙两汽车的位移相同D.甲、乙两汽车的加速度都逐渐增大点拨:如果是匀变速直线运动,平均速度v=𝑣1+𝑣22;非匀变速直线运动可以通过v=𝑥𝑡求平均速度。类型一类型二类型三解析:平均速度等于位移与时间的比值,在v-t图像中,图线与时间轴所围的面积代表位移的大小,根据图像可知,甲的位移大于乙的位移,由于时间相同,所以汽车甲的平均速度比乙的大,A正确,C错误;如图所示,直线表示匀减速直线运动,其平均速度为𝑣1+𝑣22,而匀减速直线运动的位移大于汽车乙变减速运动的位移,则汽车乙的平均速度小于𝑣1+𝑣22,B错误;因为切线的斜率等于物体的加速度,汽车甲和乙的加速度大小都逐渐减小,D错误。答案:A类型一类型二类型三类型三位移公式的综合应用【例题3】一辆小汽车在一段平直的高速公路上匀速行驶,速度大小为v0=108km/h,由于前方出现险情,司机紧急刹车,刹车时汽车的加速度大小为5m/s2。求:(1)汽车开始制动后t1=10s内滑行的距离;(2)开始制动后汽车发生位移x=80m所经历的时间t2。类型一类型二类型三解析:首先要求出汽车的刹车时间t0,再与题中给出的时间t1进行比较,若t1t0时,就按题中给出的时间计算,若t1t0,就按刹车时间t0计算。(1)由于v0=30m/s,a=-5m/s2,由v=v0+at可知汽车的刹车时间t0=𝑣-𝑣0𝑎=0-30-5s=6s由于t0t1,所以刹车后10s内滑行的距离即为汽车停止运动时滑行的距离x=v0t0+12𝑎𝑡02=30×6m+12×(−5)×62m=90m。(2)设从刹车到滑行80m所经历的时间为t2,由位移公式x'=v0t2+12𝑎𝑡22,代入数据得t2=4s,t2'=8s(刹车停止后不能反向运动故舍去),故所用时间为t2=4s。答案:(1)90m(2)4s类型一类型二类型三题后反思对于单向的匀减速直线运动问题,一定要注意运动物体经过多长时间停止运动,如果不弄清这个问题,就会用错公式,解出错误的结果。单向匀减速直线运动的运动时间的取值范围为t≤𝑣0𝑎。在求解本题时,也可以采用“逆向法”,将汽车的刹车过程反过来看,就是初速度为零的匀加速直线运动,故可由x=12𝑎𝑡2求解。当然,这种解法的前提,仍然要对汽车刹车后的运动总时间作出正确的判断。类型一类型二类型三触类旁通试求汽车刹车后最后2s的初速度和最后2s内的位移。解析:汽车在最后2s的初速度和最后2s内的位移可逆向按初速度为零的匀加速直线运动处理。最后2s的初速度v=at=5×2m/s=10m/s最后2s内的位移x=12𝑎𝑡2=12×5×4m=10m。答案:10m/s10m