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-1-1.3可线性化的回归分析目标导航1.进一步了解回归分析的基本思想,明确建立回归模型的基本步骤.2.了解回归模型与函数模型的区别,体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决问题中寻找更好的模型的方法,提升学生数学建模能力.知识梳理1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的散点图,从散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合.2.对于非线性回归模型一般可转化为线性回归模型,从而得到相应的回归方程.知识梳理3.几种常见模型:(1)幂函数曲线y=axb.其散点图在如图所示的曲线附近.作变换u=lny,v=lnx,c=lna,得线性函数u=c+bv.知识梳理(2)指数曲线y=aebx.其散点图在如图所示的曲线附近.作变换u=lny,c=lna,得线性函数u=c+bx.知识梳理(3)倒指数曲线其散点图在如图所示的曲线附近.y=𝑎e𝑏𝑥.作变换_________________,得线性函数𝑢=𝑐+𝑏𝑣.u=lny,c=lna,v=1𝑥知识梳理(4)对数曲线y=a+blnx.其散点图在如图所示的曲线附近.作变换v=lnx,得线性函数y=a+bv.知识梳理【做一做1】下图中曲线所表示的函数最有可能是()A.y=lnxB.y=exC.y=3e1𝑥D.𝑦=3e-1𝑥答案:D【做一做2】若一个函数模型为y=2+3log2x,则作变换u=,才能转化为y是u的线性回归方程.答案:log2x知识梳理4.解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定解释变量为x,预报变量为y;(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型;(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题;(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果;(5)写出非线性回归方程.典例透析题型一题型二题型三已知模拟函数类型确定解析式【例1】为了研究某种细菌随时间x(单位:天)变化时繁殖的个数y,收集数据如下:解:设u=lny,c=lna,则u=c+bx.x123456u1.79182.48493.21893.89184.55395.2470若x,y之间近似满足y=aebx,求y对x的回归方程.天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190典例透析题型一题型二题型三由此可得:∑𝑖=16xi2=91,∑i=16𝑥𝑖𝑢𝑖=86.237,∑𝑖=16𝑢𝑖2≈83.1617,𝑥=3.5,𝑢≈3.5314,∵r=∑𝑖=16𝑥𝑖𝑢𝑖-6𝑥𝑢∑𝑖=16𝑥𝑖2-6𝑥2∑𝑖=16𝑢𝑖2-6𝑢2≈0.9999,∴x与u有很强的线性相关关系.进而可以求得b=∑𝑖=16𝑥𝑖𝑢𝑖-6𝑥𝑢∑𝑖=16𝑥𝑖2-6𝑥2≈86.237-6×3.5×3.531491-6×3.52≈0.69,c=𝑢−𝑏𝑥≈3.5314-0.69×3.5=1.1164,∴u=1.1164+0.69x.∴y=e1.1164·e0.69x.典例透析题型一题型二题型三反思本题中已知函数模型,可通过恰当的变换将函数转化为线性函数关系u=c+bx,然后通过变换公式计算出相应的u与x之间的数据关系表,根据求线性回归方程的公式计算出u与x之间的函数关系,并将u与x之间的关系再转回到y与x之间的函数关系.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】某工厂每日生产某种产品x(x≥1)吨,每日生产的产品当日销售完毕,日销售额为y万元,产品价格随着产量变化而有所变化,经过一段时间的产销,得到了x,y的一组统计数据如下表:日产量x/吨12345日销售额y/万元512161921(1)请判断y=bx+a与y=dlnx+c中,哪个模型更适合刻画x,y之间的关系?可从函数增长趋势方面给出简单的理由;(2)根据你的判断及下面的数据和公式,求出y关于x的回归方程,并估计当日产量x=6时,日销售额是多少?(结果保留整数)参考公式及数据:ln1+ln2+ln3+ln4+ln55≈0.96,5ln1+12ln2+16ln3+19ln4+21ln5≈86,ln6≈1.8,(ln1)2+(ln2)2+(ln3)2+(ln4)2+(ln5)2≈6.2.典例透析题型一题型二题型三解:(1)y=dlnx+c更适合刻画x,y之间的关系.理由如下:x值每增加1,函数值的增加量分别为7,4,3,2,增加得越来越缓慢,贴合对数型函数的增长规律,与直线型函数的均匀增长存在较大差异,故y=dlnx+c更适合刻画x,y之间的关系.(2)令zi=lnxi,计算得𝑦=𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4+𝑦55=735=14.6,d=86-5×0.96×14.66.2-5×0.962≈10,所以c=y-d.𝑧≈14.6-10×0.96=5,所以所求线性回归方程为y=10lnx+5.当x=6时,日销售额为y=10ln6+5≈23(万元).典例透析题型一题型二题型三通过数据探寻函数关系模型x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数1𝑥之间是否具有线性相关关系,如果有,求出𝑦对𝑥的回归方程.【例2】某种书每册的成本费y(单位:元)与印刷册数x(单位:千册)有关,经统计得到数据如下表所示:分析:本题中y与x不具有线性相关关系,而y与1𝑥可能具有线性相关关系,不妨设u=1𝑥,建立y与u的回归方程,最后转化为y与x的关系.典例透析题型一题型二题型三解:设u=1𝑥,则y与u的数据关系如下表:u10.50.330.20.10.050.0330.020.010.005y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15由此可得:∑𝑖=110ui2≈1.4130,∑i=110𝑦𝑖2=171.803,∑𝑖=110𝑢𝑖𝑦𝑖≈15.2088,𝑢=0.2248,𝑦=3.14,则线性相关系数r=∑𝑖=110𝑢𝑖𝑦𝑖-10𝑢𝑦∑𝑖=110𝑢𝑖2-10𝑢2∑𝑖=110𝑦𝑖2-10𝑦2≈15.2088-10×0.2248×3.141.4130-10×0.22482×171.803-10×3.142≈0.9998.这表明u与y之间有较强的线性相关关系,从而求y与u的线性回归方程是有意义的.典例透析题型一题型二题型三反思在拿不准y与1𝑥之间是否具有线性相关关系时,可以通过变换u=1𝑥找y与u之间的关系,并通过画散点图或计算线性相关系数来进一步判断y与u之间是否具有线性相关关系,从而进一步完成运算.∵b=∑𝑖=110𝑢𝑖𝑦𝑖-10𝑢𝑦∑𝑖=110𝑢𝑖2-10𝑢2≈8.98,a=𝑦−𝑏𝑢≈3.14-8.98×0.2248≈1.12,∴y=1.12+8.98u.∴y对x的回归方程为y=1.12+8.98𝑥.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】炼钢厂出钢时盛钢水的钢包在使用过程中受钢水和炉渣侵蚀,其容积不断增大.下表是钢包使用不同次数时钢包容积(由于容积不便测量,故以钢包盛满钢水质量表示)的一组实测数据:使用次数x容积y使用次数x容积y2106.4211110.593108.2014110.604109.5815110.905109.5016110.707110.0018111.008109.9319111.2010110.49判断x,y之间的关系符合线性回归模型还是1𝑦=𝑎+𝑏𝑥模型,并求出𝑦关于𝑥的回归方程.钢包使用次数与容积实测数据典例透析题型一题型二题型三解:先建立平面直角坐标系,画出散点图,如图所示.从图中我们可以发现,这一系列的点并不是均匀分布在一条直线附近,这些点开始时y值增加很快,随后逐渐减慢趋于平缓.典例透析题型一题型二题型三据此,我们选取1𝑦=𝑎+𝑏𝑥作为回归函数模型,即假设y与x满足1𝑦=𝑎+𝑏𝑥,设y'=1𝑦,𝑥′=1𝑥,则回归方程化为y'=a+bx',散点坐标为(xi',yi').列表如下:x'y'x'y'0.5000.0093970.09090.0090420.3330.0092420.07140.0090420.2500.0091260.06670.0090170.2000.0091320.06250.0090330.1430.0090910.05560.0090090.1250.0090970.05260.0089930.1000.009051典例透析题型一题型二题型三根据公式得a≈0.008967,b≈0.0008275,y'=a+bx'=0.008967+0.0008275x'.又因为y'=1𝑦,𝑥′=1𝑥,即y=𝑥0.0008275+0.008967𝑥.所以回归方程为y=𝑥0.008967𝑥+0.0008275.典例透析题型一题型二题型三易错辨析易错点未判断两个变量之间的关系致误【例3】在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表:x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程.典例透析题型一题型二题型三错解:由已知条件制成下表:ixiyixiyixi210.251640.062520.51260.253155142244541416∑7.75362321.3125所以𝑥=1.55,𝑦=7.2.所以b=∑𝑖=15xiyi-5xy∑i=15𝑥𝑖2-5𝑥2≈-3.53,a=𝑦−𝑏𝑥≈12.67.故所求的y对x的回归方程是y=-3.53x+12.67.典例透析题型一题型二题型三错因分析:本题直接取已知数据求线性回归方程,没有画出散点图或求相关系数r,进行线性相关性的检验,而本题的样本点实际上不是线性相关的.根据散点图可以发现y与x近似地呈反比例函数关系,即y=𝑘𝑥的关系,如图所示,令t=1𝑥,则y=kt,即y与1𝑥呈线性相关的关系.典例透析题型一题型二题型三正解:根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系,设y=𝑘𝑥,令t=1𝑥,则y=kt,原数据变为:t4210.50.25y1612521典例透析题型一题型二题型三由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系.列表如下:itiyitiyiti21416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125所以𝑡=1.55,𝑦=7.2.所以b=∑𝑖=15tiyi-5ty∑i=15𝑡𝑖2-5𝑡2≈4.1344,a=𝑦−𝑏𝑡≈0.7917.所以y=4.1344t+0.7917.所以y对x的回归方程是y=4.1344𝑥+0.7917.12341.两个变量的散点图如图所示,用如下函数进行拟合比较合理的是()A.y=axbB.y=a+blnxC.y=aebx解析:由题中散点图知,此曲线类似对数函数型曲线,可用B项函数进行拟合.答案:BD.y=𝑎e𝑏𝑥12342.对于曲线y=𝑎e𝑏𝑥,令𝑢=ln𝑦,𝑐=ln𝑎,𝑣=1𝑥,可将其变换为线性回归模型,其形式为()A.y=a+bvB.u=a+bvC.u=c+bvD.y=c+bx答案:C12343.若x,y满足如下表的关系:则符合x,y之间关系的函数模型为.解析:通过数据发现y的值与x值的平方比较接近,所以符合x与y之间关系的函数模型为y=x2.答案:y=x2x0.20.61.01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.8212344.设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知某游客从大气压强为1.01×105Pa的海平面地区,到了海拔为2400m,大气压强为0.90×105Pa的一个高原地区,则k与c的取值分别是.解析:将𝑥=0,𝑦=1