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本章整合集合与函数概念集合概念:元素、集合、空集、全集性质:确定性、互异性、无序性表示法:自然语言表示、字母表示、描述法、列举法、Venn图、数轴关系元素与集合属于(𝑎∈𝐴)不属于(𝑎∉𝐴)集合与集合包含(𝐴⊆𝐵)真包含(𝐴⫋𝐵)相等(𝐴=𝐵)互不包含:𝐴⊈𝐵,且𝐵⊈𝐴运算交集:𝐴⋂𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴,且𝑥∈𝐵}并集:𝐴⋃𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴,或𝑥∈𝐵}补集:∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥∈𝑈,且𝑥∉𝐴}集合与函数概念函数定义:数集𝐴中的每个元素𝑥在数集𝐵中均有唯一的元素𝑦与之对应三要素:定义域、对应关系、值域表示法:解析法、列表法、图象法性质单调性增函数:区间𝐷内任意𝑥1𝑥2,总有𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)减函数:区间𝐷内任意𝑥1𝑥2,总有𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)最值最大值𝑓(𝑥0):定义域内任意𝑥,有𝑓(𝑥)≤𝑓(𝑥0)最小值𝑓(𝑥0):定义域内任意𝑥,有𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑥0)奇偶性奇函数:定义域内任意𝑥,总有𝑓(-𝑥)=-𝑓(𝑥)偶函数:定义域内任意𝑥,总有𝑓(-𝑥)=𝑓(𝑥)映射:对于集合𝐴中的每一个元素𝑥,在集合𝐵中总有唯一的一个元素𝑦与之对应专题一专题二专题三专题四专题五专题一判断两个集合间的关系两个集合间的关系可分类如下:两个集合间的关系包含关系(子集)真包含(真子集)相等不包含关系集合间的基本关系已经渗透到高中数学的各个章节,特别是与函数、方程、不等式等联系密切.判断两个集合间关系的步骤:(1)首先化简各个集合,明确所给集合中的元素;(2)依据子集、真子集、集合相等的定义来确定两个集合间的关系.专题一专题二专题三专题四专题五应用1能正确地表示集合M={-1,0,1}和集合N={x|x2+x=0}之间关系的Venn图是()提示:先化简集合N,再作判断.解析:由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N⫋M,故选B.答案:B专题一专题二专题三专题四专题五应用2若集合P={x|y=x2},Q={y|y=x2},则必有()A.P⊆QB.P⫋QC.P=QD.Q⫋P提示:与函数y=f(x)有关的集合的含义如下表所示:解析:集合P是函数y=x2的定义域,则集合P=R;集合Q是函数y=x2的值域,则集合Q={y|y≥0},所以Q⫋P.答案:D集合含义{x|y=f(x)}函数y=f(x)的定义域{y|y=f(x)}函数y=f(x)的值域{(x,y)|y=f(x)}函数y=f(x)的图象上的点构成的集合专题一专题二专题三专题四专题五专题二集合的运算集合的运算主要是指求集合的交集、并集和补集等,在进行集合的运算时,首先要明确元素是什么,全集是什么,保证所有元素都是全集中的元素.根据所给集合的不同表示形式,常常借助于数轴或Venn图进行运算.专题一专题二专题三专题四专题五应用1设集合A={x|x-2,或x≥3},B={x|0≤x≤4,且x∈Z},则(∁RA)∩B等于()A.{x|0≤x3}B.{x|0x≤3,且x∈Z}C.{0,1,2,3}D.{0,1,2}解析:∵A={x|x-2,或x≥3},∴∁RA={x|-2≤x3}.又B={x|0≤x≤4,且x∈Z},∴B={0,1,2,3,4}.∴(∁RA)∩B={0,1,2}.答案:D专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知集合M={x|y=1+𝑥},𝑁=𝑥𝑦=1-2-𝑥,则𝑀∪N等于()A.{x|x-1}B.{x|x-2}C.{x|x-2,或x≥-1}D.{x|-2x-1}解析:集合M表示函数y=1+𝑥的定义域,则M={x|x≥-1};集合N表示函数y=1-2-𝑥的定义域,则N={x|x-2}.用数轴表示集合M,N,如图所示,所以M∪N={x|x-2,或x≥-1}.答案:C专题一专题二专题三专题四专题五专题三求函数最值的方法函数的最值是函数在整个定义域上的性质,是函数的整体性质,是高考中常见的题型,其常见的求法有直接法、观察法、单调性法、图象法、换元法等.1.直接法求反比例函数、一次函数、二次函数的最值时,常利用这些函数的性质和图象,直接写出最值,这种求最值的方法称为直接法.特别地,求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最值时,通常是画出二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的图象,借助函数的图象写出最值,即图象上最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.专题一专题二专题三专题四专题五应用1函数f(x)=-2x+1在区间[-2,1]上的最大值是,最小值是.解析:因为函数f(x)=-2x+1在区间[-2,1]上是减函数,所以最大值是f(-2)=5,最小值是f(1)=-1.答案:5-1应用2函数f(x)=2𝑥在区间[1,4]上的最大值是_______________,最小值是_______________.解析:因为函数f(x)=2𝑥在区间[1,4]上是减函数,所以最大值是f(1)=2,最小值是f(4)=12.答案:212专题一专题二专题三专题四专题五应用3函数f(x)=-x2+2x+2在区间[0,3]上的最小值是,最大值是.解析:函数f(x)=-x2+2x+2在区间[0,3]上的图象如图所示,所以f(x)的最小值是f(3)=-1,最大值为f(1)=3.答案:-13专题一专题二专题三专题四专题五2.观察法当函数的解析式中含有x2或|x|或𝑥时,通常利用常见的结论𝑥2≥0,|x|≥0,𝑥≥0等,观察解析式写出函数的最值,这种求函数最值的方法称为观察法.应用函数y=𝑥−2的最小值是_______________.解析:∵𝑥≥0,∴y=𝑥−2≥-2,∴函数y=𝑥−2的最小值是-2.答案:-2专题一专题二专题三专题四专题五3.单调性法若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(b),最小值是f(a);若函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(b).专题一专题二专题三专题四专题五应用已知函数f(x)=2𝑥-1𝑥+1,𝑥∈[3,5].(1)判断f(x)在区间[3,5]上的单调性,并加以证明;(2)求f(x)的最大值和最小值.解:(1)f(x)在区间[3,5]上单调递增.证明如下:f(x)=2𝑥-1𝑥+1=2(𝑥+1)-3𝑥+1=2−3𝑥+1,任取x1,x2∈[3,5],且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2-3𝑥1+1−2-3𝑥2+1=3𝑥2+1−3𝑥1+1=3(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+1)(𝑥2+1).∵x1,x2∈[3,5],∴x1+10,x2+10,即(x1+1)(x2+1)0.又x1x2,∴x1-x20.∴f(x1)f(x2).∴f(x)=2𝑥-1𝑥+1在区间[3,5]上单调递增.专题一专题二专题三专题四专题五(2)由(1)知,f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54;f(x)max=f(5)=2×5-15+1=32.专题一专题二专题三专题四专题五4.图象法利用图象法求函数f(x)最值的步骤:(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点;(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.专题一专题二专题三专题四专题五应用已知函数f(x)=𝑥2-𝑥,0≤𝑥≤2,2𝑥-1,𝑥2,求函数𝑓𝑥的最大值、最小值.提示:画出函数的图象,确定图象上的最高点和最低点.解:作出f(x)的图象,如图所示,由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当x=12时,f(x)取最小值为−14.所以f(x)的最大值为2,最小值为−14.专题一专题二专题三专题四专题五5.换元法求形如f(x)=ax2m+bxm+c(a≠0)或f(x)=ax+𝑏𝑥+𝑐+𝑑(𝑎𝑏≠0)的函数的最值时,设xm=t或𝑏𝑥+𝑐=𝑡,利用换元法转化为求二次函数的最值问题,这种求函数最值的方法称为换元法,此时要注意换元后的函数定义域的变化情况.应用1求函数y=x4+2x2-2的最小值.提示:由于x4的指数是x2的指数的2倍,则可利用换元法转化为求二次函数的最小值.解:设x2=t,则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0.∵函数y=(t+1)2-3在[0,+∞)内是增函数,∴当t=0时,y取最小值-2.∴函数y=x4+2x2-2的最小值是-2.专题一专题二专题三专题四专题五应用2求函数y=x+1-2𝑥−1的最大值.提示:可设1-2𝑥=𝑡,将原函数转化为二次函数,再求二次函数的最大值.解:设1-2𝑥=𝑡,则t≥0,x=12(1−𝑡2),∴y=12(1−𝑡2)+𝑡−1=−12𝑡2+𝑡−12=−12(𝑡−1)2,𝑡≥0.∵函数y=−12(𝑡−1)2在[0,1]上是增函数,在[1,+∞)内是减函数,∴当t=1时,y取最大值0,即函数y=x+1-2𝑥−1的最大值是0.专题一专题二专题三专题四专题五专题四函数的单调性判断或证明函数f(x)的单调性的方法:1.定义法用定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是:(1)在所给区间上任取两个变量x1,x2,且x1x2;(2)比较f(x1)与f(x2)的大小,通常用作差法,先作差,再将差变形,变形的方法有通分、分解因式等,变形应以能够判断差的符号为目的;(3)归纳结论.2.图象法画出函数f(x)的图象,借助图象和函数单调性的几何意义来判断.此法适用于选择题和填空题.专题一专题二专题三专题四专题五应用已知函数f(x)=x−𝑎𝑥+𝑎2在1,+∞内是增函数,求实数𝑎的取值范围.解:设x1,x2是区间(1,+∞)内的任意两个实数,且x1x2.∵函数f(x)在区间(1,+∞)内是增函数,∴f(x1)-f(x2)=x1−𝑎𝑥1+𝑎2−𝑥2-𝑎𝑥2+𝑎2=(x1-x2)1+𝑎𝑥1𝑥20.又x1-x20,∴1+𝑎𝑥1𝑥20,即a-x1x2.∵1x1x2,∴x1x21,-x1x2-1.∴a≥-1,即a的取值范围是[-1,+∞).专题一专题二专题三专题四专题五专题五函数的奇偶性判断函数的奇偶性的方法:1.定义法用定义法判断函数奇偶性的步骤:先求函数的定义域,当定义域不关于原点对称时,此函数既不是奇函数也不是偶函数;当定义域关于原点对称时,再判断f(-x)与f(x)的关系.(1)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;(2)当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;(3)当f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数也是偶函数;(4)当f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.专题一专题二专题三专题四专题五2.图象法画出函数f(x)的图象,依据下列结论写出函数f(x)的奇偶性:如果函数f(x)的图象关于原点对称,那么函数f(x)是奇函数;如果函数f(x)的图象关于y轴对称,那么函数f(x)是偶函数;如果函数f(x)的图象关于原点和y轴均对称,那么函数f(x)既是奇函数也是偶函数;如果函数f(x)的图象关于原点和y轴均不对称,那么函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.专题一专题二专题三专题四专题五应用1已知函数f(x)=𝑎𝑥2+23𝑥+𝑏是奇函数,且𝑓2=53,求实数𝑎,𝑏的值.提示:因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)的定义域关于原点对称,以此确定b的值,再利用f(2)=53求得a的值.解:∵f(x)是奇函数,∴函数f(x)的定义域𝑥𝑥≠-𝑏3关于原点对称,∴b=0.又f(2)=53,∴4𝑎+26=53,解得a=2.专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取