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集合习题课1.能够掌握集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系、集合的基本运算.2.熟练地掌握集合的Venn图表示法和数轴表示法,培养数形结合思想.1.集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性.【做一做1】若集合A={x|mx2+2x+2=0}中有两个元素,则m满足的条件为.解析:由题意知,m≠0,且Δ=4-8m0,解得m12,且m≠0.答案:𝑚𝑚12,且𝑚≠02.元素与集合的关系:属于或不属于.【做一做2】已知集合M={x∈N*|−3≤x≤3},则下列说法正确的是()A.M是空集B.3∈MC.该集合是有限集D.1∉M解析:由已知得M={1},因此M是有限集,3∉M,1∈M.答案:C3.集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.【做一做3】若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示集合B为.解析:由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的,故B={4,9,16}.答案:{4,9,16}4.集合与集合的关系包含关系真包含相等互不包含【做一做4】已知集合A={x|-2x4},B={x|x-50},则A与B之间的关系为()A.A⫋BB.A⫌BC.A=BD.不确定解析:∵x-50,∴x5.利用数轴把A,B表示出来,如图所示.因此B中的元素不都属于A,但A中的元素都属于B,由真子集的定义,知A是B的真子集,即A⫋B.答案:A5.集合的基本运算交集:𝐴⋂𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴,且𝑥∈𝐵}并集:𝐴⋃𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴或𝑥∈𝐵}补集:∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥∈𝑈,且𝑥∉𝐴}【做一做5】设集合A={x|-1≤x2},B={x|xa}.若A∩B≠⌀,则a的取值范围是()A.a2B.a-2C.a-1D.-1a≤2解析:A={x|-1≤x2},B={x|xa},要使A∩B≠⌀,借助数轴可知a-1.答案:C1.集合的运算中运用分类讨论和数形结合解决含参数的问题剖析对于两个集合A与B,A或B中含有待确定的参数(字母),若A⊆B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时,常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论.②因为集合中的元素是无序的,所以由A⊆B或A=B得到的两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圆圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.此类问题易错点有三个:①忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圆圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性.②所求参数能否取到端点值.2.图示法在集合的运算中的运用剖析在进行集合的交、并、补综合运算时,为了保证运算的准确性、有效性、简捷性,通常要借助于Venn图和数轴这两个有力的工具,数形结合分析得出结果.一般来说,用列举法表示的数集或者研究抽象的集合之间关系时,用Venn图比较方便,如(∁UA)∩B,(∁UB)∩A的表示,如图所示.用描述法表示的数集,特别是和不等式相关的集合之间的运算,通常用数轴分析得出结果,这样可以将抽象问题直观化.题型一题型二题型三集合的表示【例1】设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9分析:正确理解集合B中x,y的取值,结合集合中元素的特征写出集合B.题型一题型二题型三解析:因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y,且x∈A,y∈A,所以x的可能取值为0,1,2,y的可能取值为0,1,2.当x=0时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为0,-1,-2;当x=1时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为1,0,-1;当x=2时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中元素的个数为5.答案:C反思1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共同特征是解题的关键.3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重复.题型一题型二题型三【变式训练1】设集合A={x∈Z|0x4},B={x|(x-4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知可得A={1,2,3},B={4,5},则a的取值可能为1,2,3,b的取值可能为4,5.故a+b的值可能为5,6,7,8,即集合M中有4个元素.答案:B题型一题型二题型三集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|0≤x4},B={x|xa},若A⫋B,求实数a的取值集合.分析:将集合A在数轴上表示出来,再将B在数轴上表示出来,使得A⫋B,即可求出a的取值范围.解:将集合A表示在数轴上(如图),要满足A⫋B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的取值集合为{a|a≥4}.反思1.利用集合的基本关系求参数的问题,借助数轴分析时,要验证参数能否取到端点值.2.要注意空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.题型一题型二题型三【变式训练2】已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若N⊆M,则实数a的值为.解析:当N=⌀,即a=0时,符合题意;当N≠⌀时,a≠0,则M={a},N=1𝑎,依题意有1𝑎=𝑎,所以a=±1.综上,实数a的值为0或1或-1.答案:0或1或-1题型一题型二题型三集合的基本运算【例3】设全集是实数集R,A=𝑥12≤𝑥≤3,𝐵={𝑥|2𝑎𝑥𝑎+2}.(1)当a=-1时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.分析:(1)先将a=-1代入集合B,再借助数轴求解;(2)先将(∁RA)∩B=B转化为B⊆∁RA,再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.题型一题型二题型三解:(1)当a=-1时,B={x|-2x1},故A∩B=𝑥12≤𝑥1,𝐴∪B={x|-2x≤3}.(2)由已知可求得∁RA=𝑥𝑥12,或𝑥3.∵(∁RA)∩B=B,∴B⊆∁RA.当B=⌀时,2a≥a+2,解得a≥2;当B≠⌀时,2𝑎𝑎+2,𝑎+2≤12或2𝑎𝑎+2,2𝑎≥3,解得a≤−32或32≤a2.综上可得,a的取值范围是a≤−32或a≥32.题型一题型二题型三反思1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.2.若所给集合是无限集,则常借助数轴,首先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意边界问题.题型一题型二题型三【变式训练3】设全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2}.求:(1)∁U(A∪B);(2)记∁U(A∪B)=D,C={x|2a-3≤x≤-a},且C∩D=C,求a的取值范围.解:(1)由A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2},可知A∪B={x|x≤2或x≥5}.又全集U=R,故∁U(A∪B)={x|2x5}.(2)由(1)得D={x|2x5}.由C∩D=C,得C⊆D.①当C=⌀时,有-a2a-3,解得a1;②当C≠⌀时,有2𝑎-3≤-𝑎,2𝑎-32,-𝑎5,解得a∈⌀;综上可知a的取值范围为a1.