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第2课时分段函数与映射1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.2.了解映射的概念,会判断给出的对应是不是映射.3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.1.分段函数所谓分段函数,是指在定义域的不同部分,有不同的对应关系的函数.名师点拨分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.分段函数的定义域是各段自变量取值的并集,值域是各段函数值的并集.【做一做1】已知函数f(x)=𝑥,𝑥≥0,𝑥+1,𝑥0,则𝑓(1)等于()A.0B.1C.2D.2解析:∵x=10,∴f(1)=1=1.答案:B2.映射(1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.归纳总结满足下列条件的对应f:A→B为映射:(1)A,B为非空集合;(2)有对应关系f;(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对应.(2)映射与函数的联系归纳总结函数新概念,记准三要素;定义域值域,关系式相连;函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;函数变映射,只是数集变;不再是数集,任何集不限.函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集,也可以是其他集合,只要非空即可联系函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一定是函数【做一做2】下列从集合M到集合N的对应中,不是映射的是()解析:选项A,B,C均符合映射的定义,都是映射;选项D中,集合M中的元素1在集合N中有两个元素a和b与之对应,不符合映射的定义,则选项D不是映射.答案:D画分段函数的图象剖析画分段函数的图象时,要分析分段函数的定义域,遵循定义域优先的原则.例如:画函数y=(𝑥+1)2,𝑥≤0,-𝑥,𝑥0的图象的步骤为:①画二次函数y=(x+1)2的图象,取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如图所示).由此可得,画分段函数y=𝑓1(𝑥),𝑥∈𝐷1,𝑓2(𝑥),𝑥∈𝐷2,……(𝐷1,𝐷2,…,两两的交集是空集)的图象的步骤为:①画整个函数y=f1(x)的图象,取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;②画整个函数y=f2(x)的图象,取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;……将各个部分的图象合起来就是所要画的分段函数的图象.题型一题型二题型三题型四判断映射【例1】下列对应是从集合M到集合N的映射的是()①M=N=R,f:x→y=1𝑥,𝑥∈M,y∈N;②M=N=R,f:x→y=x2,x∈M,y∈N;③M=N=R,f:x→y=1|𝑥|+𝑥,𝑥∈M,y∈N;④M=N=R,f:x→y=x3,x∈M,y∈N.A.①②B.②③C.①④D.②④解析:对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不是映射;对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所以③不是映射;对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应,所以②④是映射.故选D.答案:D题型一题型二题型三题型四反思判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一,则不是映射.题型一题型二题型三题型四(4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y=12𝑥.【变式训练1】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→y=|x-3|,x∈A,y∈B;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形;(3)A={高一(1)班的男生},B=R,对应关系f:每个男生对应自己的身高;题型一题型二题型三题型四解:(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而0∉B,故不是映射.(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一的元素与之对应,符合映射定义,是映射.(4)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y=12𝑥作用下对应的元素构成的集合C={y|0≤y≤1}⊆B,符合映射定义.题型一题型二题型三题型四分析:先求f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可.解:∵-30,∴f(-3)=0.∴f(f(-3))=f(0)=π.又π0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1,即f(f(f(-3)))=π+1.反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,再代入相应的解析式求得.2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理.求分段函数的函数值【例2】已知函数f(x)=𝑥+1,𝑥0,π,𝑥=0,0,𝑥0,求𝑓(𝑓(𝑓(−3))).题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知函数f(x)=𝑥+2,𝑥≤-1,2𝑥,-1𝑥2,𝑥22,𝑥≥2.(1)求𝑓𝑓32的值;(2)若f(a)=2,求a的值.解:(1)∵-1322,∴𝑓32=2×32=3.又32,∴𝑓𝑓32=𝑓(3)=92.(2)当a≤-1时,由f(a)=2,得a+2=2,解得a=0,舍去;当-1a2时,由f(a)=2,得2a=2,解得a=1;当a≥2时,由f(a)=2,得𝑎22=2,解得a=2或a=-2(舍去).综上所述,a的值为1或2.题型一题型二题型三题型四分段函数的图象及应用【例3】如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为22cm,当垂直于底边𝐵𝐶垂足为𝐹的直线𝑙从左至右移动与梯形𝐴𝐵𝐶𝐷有公共点时,直线𝑙把梯形分成两部分,令𝐵𝐹=𝑥cm,试写出直线𝑙左边部分图形的面积𝑦关于𝑥的函数解析式,并画出大致图象.题型一题型二题型三题型四解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=22cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm.又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.(1)当点F在线段BG上,即x∈[0,2]时,y=12𝑥2;(2)当点F在线段GH上,即x∈(2,5]时,y=𝑥+(𝑥-2)2×2=2𝑥−2;(3)当点F在线段HC上,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=12(7+3)×2−12(7−𝑥)2=−12(𝑥−7)2+10.题型一题型二题型三题型四综合(1)(2)(3)得函数解析式为y=12𝑥2,𝑥∈[0,2],2𝑥-2,𝑥∈(2,5],-12(𝑥-7)2+10,𝑥∈(5,7],函数图象如图所示.题型一题型二题型三题型四反思求实际问题中函数的解析式,其关键是要充分利用条件建立关于变量的等式.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑问题的实际意义.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】根据函数f(x)的图象(如图)写出其解析式.解:当0≤x≤1时,f(x)=2x;当1x2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.所以f(x)=2𝑥,0≤𝑥≤1,2,1𝑥2,3,𝑥≥2.题型一题型二题型三题型四易混易错题易错点错误理解分段函数【例4】已知函数f(x)=𝑥2-1,𝑥≥0,2𝑥+1,𝑥0,若𝑓(𝑥)=3,求𝑥的值.错解由x2-1=3,得x=±2;由2x+1=3,得x=1.故x的值为2,-2或1.错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣“分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,错解中x=-2和x=1都应舍去.正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去);当x0时,由2x+1=3,得x=1(舍去).故x的值为2.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知函数f(x)=𝑥+4,-3≤𝑥≤0,𝑥2-2𝑥,0𝑥≤4,-𝑥+2,4𝑥≤5,作出函数𝑓(𝑥)的图象,并写出函数𝑓(𝑥)的值域.解:画出函数的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的值域为[-3,-2)∪[-1,8].