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1.1.2集合间的基本关系1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确地判断.2.了解Venn图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质.1.Venn图(1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.(2)适用范围:元素个数较少的集合.(3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.名师点拨常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形.【做一做1】如图所示的Venn图表示的集合为()A.{-1,9,13}B.{x=-1,9,13}C.-1,9,13D.(-1,9,13)答案:A2.子集(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”).名师点拨如果对任意x∈A,有x∈B,那么A⊆B.若存在x∈A,但x∉B,则称A不是B的子集,记作A⊈B.(2)图示:当A⊆B时,用Venn图表示,如图①或图②所示.(3)性质:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.【做一做2】已知集合A={x|x≥0},集合B={x|x1},则()A.ABB.A⊆BC.B∈AD.B⊆A答案:D3.集合相等与真子集归纳总结1.对于集合A,B,C,若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;任何集合都不是它本身的真子集.2.若A⊆B,且A≠B,则A⫋B.定义记法图示集合相等如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等A=B真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们就称集合A是集合B的真子集A⫋B(或B⫌A)【做一做3-1】已知M={1,2,3,4,5},N={1,4},则()A.MNB.N⫋MC.N∈MD.M=N答案:B【做一做3-2】下列集合与集合{x|x2-x=0}相等的是()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}解析:因为集合{x|x2-x=0}是方程x2-x=0的解集,解方程x2-x=0,得x=0或x=1,所以{x|x2-x=0}={0,1}.答案:C4.空集(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀.(2)规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.名师点拨空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).【做一做4-1】集合M={x∈R|2x2+3=0}中元素的个数是()A.不确定B.2C.1D.0解析:由方程2x2+3=0无实数根,可知M=⌀.答案:D【做一做4-2】有下列命题:①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:对于①,空集是任何集合的子集,故⌀⊆⌀,①错;对于②,⌀只有一个子集,是其自身,②错;对于③,空集不是空集的真子集,③错;空集是任何非空集合的真子集,④正确.答案:B1.对空集的理解剖析对于1𝑥=0,𝑥2+4=0,|𝑥|0来说,它们的解集中都没有元素.也就是说,确实存在没有任何元素的集合,那么如何表示没有元素的集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集,并记为⌀.对于上述方程和不等式,我们不能说它们没有解集,而应该说它们的解集都是⌀.空集不含任何元素,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集的概念是一个规定.注:(1)⌀是不含任何元素的集合;(2){0}是含有一个元素的集合,⌀⫋{0};(3)0∈{0},0∉⌀.2.符号“∈”和“⊆”的区别剖析符号“∈”只适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z,∈R;符号“⊆”只适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,左边集合的元素均属于右边的集合,如{1}⊆{1,0},{x|x2}⊆{x|x3}.2题型一题型二题型三题型四题型五判断集合间的关系【例1】指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|-1x4},B={x|x-50};(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B.(3)集合B={x|x5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B.(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N⫋M.题型一题型二题型三题型四题型五反思判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当M⊆N和M⫋N均成立时,M⫋N较准确地表达了M和N之间的关系.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知集合A={x|-1x2},B={x|0x1},则()A.ABB.A⫋BC.B⫋AD.A⊆B解析:在数轴上表示集合A,B,如图所示.显然B⫋A.答案:C题型一题型二题型三题型四题型五集合的子集、真子集个数问题【例2】已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.分析:由{2,3}⊆M知,M中至少含有元素2,3,且必须含有元素2,3;由M⊆{1,2,3,4,5}知,M中至多含有元素1,2,3,4,5.按M中所含元素的个数分类写出集合M.解:当M中含有2个元素时,M为{2,3};当M中含有3个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};当M中含有4个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};当M中含有5个元素时,M为{2,3,1,4,5}.所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.正确区分子集、真子集以及非空真子集等概念,先看清题目的要求,再求解.2.写出集合的子集时,一般可以按照集合的元素个数进行分类,再依次找出每类中符合要求的集合.3.解决这类问题时,还要注意两个比较特殊的集合,即⌀和集合本身.4.含有n(n≥1,且n∈N)个元素的集合有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0x5,x∈N},则满足A⊆C⫋B的集合C的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由已知可得集合A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⫋B,所以集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.答案:C题型一题型二题型三题型四题型五已知两个集合间的关系,求参数的取值范围【例3】已知集合A={x|x-1,或x4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.分析:由于B⊆A,且B可能为⌀,则要对B分类讨论.可用数轴来表示集合A与集合B的关系.解:当B=⌀时,只需2aa+3,即a3;当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,可得𝑎+3≥2𝑎,𝑎+3-1或𝑎+3≥2𝑎,2𝑎4,解得a-4或2a≤3.综上可得,实数a的取值范围为{a|a-4,或a2}.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.解决已知两个集合间的关系,求参数的范围问题时,通常要借助数轴;利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.在用数轴表示集合时,含“=”的端点用实心点表示,不含“=”的端点用空心圆圈表示.2.若集合B⊆A,且集合B是不是空集不确定,则要对集合B分类讨论,分B=⌀和B≠⌀两类讨论.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1xm+1},且B⊆A,B≠⌀,求实数m的取值范围.解:由题意,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,则有-3≤2𝑚-1,𝑚+1≤4,2𝑚-1𝑚+1,解得-1≤m2.故实数m的取值范围是{m|-1≤m2}.题型一题型二题型三题型四题型五集合相等关系的应用【例4】设集合A={x|-2x≤m-3},B={x|3n+4x≤2}.若A=B,求实数m,n的值.解:由A=B知,两个集合中的不等式的端点值相等,则-2=3𝑛+4,𝑚-3=2,解得𝑚=5,𝑛=-2.反思解决集合相等的问题,要抓住元素相同这一关键,即一个集合中有的元素必定另一个集合也有,同时注意可能出现元素的重复,注意检验和取舍.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.解:∵A=B,∴x=0或y=0.①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,舍去;②当y=0时,x=x2,解得x=1或x=0(舍去),此时A={1,0}=B,满足条件.综上可知,x=1,y=0.题型一题型二题型三题型四题型五易混易错题易错点空集是任何集合的子集【例5】设集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1}.若N⊆M,则m的取值集合为.错解集合M=3,-12.若N⊆M,则N={3}或-12,于是当N={3}时,m=13;当N=-12时,m=-2.所以m的取值集合为-2,13.错因分析:错解中由于忽视了空集是任何集合的子集,从而导致漏掉一种情况,即N=⌀.分类讨论时,要注意做到分类标准清晰,既不重复又不遗漏.题型一题型二题型三题型四题型五正解:集合M=3,-12.若N⊆M,则N={3}或-12或⌀.于是当N={3}时,m=13;当N=-12时,m=-2;当N=⌀时,m=0.所以m的取值集合为-2,0,13.反思当A⊆B时,若B≠⌀,则A=⌀或A≠⌀.本题中,由于M=3,-12≠⌀,则N=⌀或N≠⌀.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B⊆A,求实数a的取值范围.解:由题意得A={0,-4},B⊆A.(1)当A=B时,即B={0,-4},故0,-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,则-2(𝑎+1)=-4,𝑎2-1=0,解得a=1.(2)当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.(3)当B中只含有一个元素时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1.当a=-1时,B={x|x2=0}={0}⊆A,满足条件.综上所述,所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.