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第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特征.2.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“∉”来表示.3.掌握列举法和描述法,会选择不同的方法表示集合,记住常用数集的符号.1.元素与集合的有关概念(1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)字母表示:用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示集合中的元素,如a,b,c等.(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.名师点拨集合中的元素必须满足如下性质:(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.【做一做1】下列对象能构成集合的是()A.中央电视台著名节目主持人B.不超过20的非负数C.班级中的优秀学生D.世界上的高楼答案:B2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素,那么就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,那么就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A归纳总结1.对任意的元素a与集合A,在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中,必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.【做一做2】设M是所有偶数组成的集合,则()A.3∈MB.1∈MC.2∈MD.2∉M解析:因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.答案:C3.常用的数集及其记法名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR【做一做3】下列关系中,正确的个数为()①12∈R;②2∉Q;③|-3|∈N;④−4∈Z.A.1B.2C.3D.4解析:12是实数,2是无理数,|-3|=3是非负整数,−4=−2是整数,故①②③④均正确.答案:D4.集合的表示法(1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.名师点拨1.对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法.2.用列举法表示集合时,元素之间用“,”隔开,而不是用“、”隔开.(2)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.名师点拨1.对于含有无限个元素的集合,常用描述法表示.2.用描述法表示集合时,应弄清楚集合中元素的符号,如数或点等.3.若描述元素的共同特征时,出现了元素记号以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.【做一做4-1】不等式x-32,且x∈N*的解集用列举法可表示为()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}解析:由题意知x5,且x∈N*,故用集合表示为{1,2,3,4}.答案:B【做一做4-2】已知集合A={x|x-1=0},用列举法表示集合A=.解析:由题意可知A是方程x-1=0的解集.解方程x-1=0,得x=1,则A={1}.答案:{1}【做一做4-3】不等式4x-57的解集为.解析:∵4x-57,∴x3.∴不等式的解集为{x|x3}.答案:{x|x3}1.对集合中元素确定性的理解剖析教材中指出,把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,可理解为:研究对象就是构成集合的元素.一个对象是不是我们研究的对象(元素),就要看其结果是不是明确的、确定的.例如,如果你是班内的文艺委员,让爱好唱歌的同学到音乐教室开会,那么可能会出现:你认为爱好唱歌的同学没有去,而你认为不爱好唱歌的同学反而去了,出现这种情况的原因是没有明确的标准来判断一名同学是否爱好唱歌.因此“爱好唱歌的同学”所指的对象不明确,不能构成一个集合.因此,给定一个集合,任意一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,二者必居其一.2.点集的表示剖析在数学中,平面直角坐标系中的点通常用坐标(x,y)来表示.因此用列举法表示点集时,常写成{(x1,y1),(x2,y2),…}.用描述法表示点集时,由于其中元素的代表符号是(x,y),则常写成{(x,y)|x,y的特征}.例如集合{(x,y)|y=x+1}表示函数y=x+1图象上所有点组成的集合.题型一题型二题型三题型四判断元素与集合的关系【例1】已知集合A={x|3-3x0},则下列各式正确的是()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.-1∉A解析:由题意可知A={x|x1}.由31,1=1,01,-11,可得3∉A,1∉A,0∈A,-1∈A.答案:C反思判断一个元素是不是某个集合的元素,对于用描述法给出的集合,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征;对于用列举法给出的集合,只需观察即可.题型五题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知集合A={x|x-a0},若3∈A,则下列各式一定正确的是()A.0∉AB.1∉AC.2∈AD.4∈A解析:∵A={x|x-a0}={x|xa},∴当3∈A时,可得a3,∴小于3的实数一定属于集合A,∴2∈A.答案:C题型一题型二题型三题型四题型五集合中元素互异性的应用【例2】含有两个实数的集合A可以表示为{a-3,2a-1},求实数a满足的条件.分析:根据集合中元素的互异性,得a-3≠2a-1,从而求出实数a满足的条件.解:因为A={a-3,2a-1}中含有两个元素,由集合中元素的互异性,可得a-3≠2a-1,所以a≠-2,即实数a满足的条件为a≠-2.反思用列举法表示的集合,其默认的条件是集合中的元素各不相同,也就是说集合中的元素一定要满足互异性.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为.解析:由已知可得a=1或a2=1,即a=1或a=-1.当a=1时,a=a2=1,不符合集合中元素的互异性,故a≠1;当a=-1时,集合A中的元素是1和-1,符合集合中元素的互异性,故a=-1.综上所述,实数a的值为-1.答案:-1题型一题型二题型三题型四题型五用列举法表示集合【例3】用列举法表示下列集合:(1)小于1000的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=1的实数根组成的集合;(3)一次函数y=x与y=2x-1图象的交点组成的集合.分析:先明确各集合中的元素,再分别用花括号括起来即可.解:(1)设小于1000的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,…,999}.(2)设方程x2=1的实数根组成的集合为B,则B={-1,1}.(3)解方程组𝑦=𝑥,𝑦=2𝑥-1,得𝑥=1,𝑦=1.故所求集合用列举法表示为{(1,1)}.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.对于元素个数较少的集合或元素个数较多但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法表示.2.元素不能重复且无遗漏.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】用列举法表示下列集合:(1)“rooftop”中所有字母组成的集合;(2)直线y=x+1与y轴的交点组成的集合.解:(1)用列举法表示为{r,o,f,t,p}.(2)直线y=x+1与y轴的交点坐标为(0,1),从而所求集合为{(0,1)}.题型五题型一题型二题型三题型四题型五用描述法表示集合【例4】用描述法表示下列集合:(1)被5除余1的正整数组成的集合;(2)平面直角坐标系内,两个坐标轴上的点组成的集合;(3)所有矩形组成的集合.分析:先确定要求的集合中的元素是什么,比如数字、点、图形等,再明确集合中元素的特征.题型一题型二题型三题型四解:(1)设元素为x,则x是5的非负整数倍加1,即x=5k+1,k∈N.因此用描述法表示为A={x|x=5k+1,k∈N}.(2)设元素为(x,y),则x=0或y=0,即xy=0,因此用描述法表示为B={(x,y)|xy=0}.(3)设元素为x,则x是矩形,因此用描述法表示为C={x|x是矩形}或C={矩形}.题型五题型一题型二题型三题型四反思1.对于含有无限个元素的集合,常用描述法表示.用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集,还是其他类型的集合.一般地,数集中的元素用一个字母表示,而点集中的元素用一个有序实数对来表示.2.若描述元素的共同特征时,出现了元素记号以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.3.在不引起混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分,如{直角三角形}.题型五题型一题型二题型三题型四【变式训练4】用描述法表示下列集合:(1)由不等式x+10的所有实数解组成的集合;(2)直线y=x上去掉原点的点组成的集合.解:(1)A={x|x+10}.(2)B={(x,y)|y=x,x≠0}.题型五题型一题型二题型三题型四题型五易混易错题易错点集合中元素的互异性【例5】用列举法写出关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的解集.错解由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a,则该方程的解集为{1,a}.错因分析:错解中没有注意到a是参数,方程的解集带有不确定性.为了保证集合中元素的互异性,写出解集时要对a进行分类讨论.正解:由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a.若a=1,则方程的解集为{1};若a≠1,则方程的解集为{1,a}.反思对于用列举法表示的集合,若其中的元素用字母表示,要注意满足集合中元素的互异性.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合C={z|z=x-y,x∈A,y∈B}中所有元素之和为()A.-9B.-8C.-7D.-6解析:当x=0,y=2或3时,z的值分别为-2,-3;当x=1,y=2或3时,z的值分别为-1,-2;当x=2,y=2或3时,z的值分别为0,-1.综上可知,集合C={-3,-2,-1,0},所以集合C中所有元素之和为-6.答案:D