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1.4充分条件与必要条件课标阐释思维脉络1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.3.掌握证明充要条件的一般方法.一二一、充分条件与必要条件1.(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?提示:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q.(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?提示:说明由条件p不能推出结论q,记作pq.一二(3)观察如下电路图,条件p:“开关A闭合”,结论q:“灯泡B亮”.当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗?说明了什么?如果“灯泡B不亮”,“开关A可以闭合”吗?提示:一定会亮.说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就足够了.如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合.一二(4)下面电路中,条件p:“开关A闭合”成立,结论q:“灯泡B亮”成立吗?提示:不成立.也就是说“若p,则q”为假命题.2.填空一般地,“若p则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.3.做一做用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的,q是p的.(2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的,q是p的.答案:(1)充分条件必要条件(2)必要条件充分条件一二二、充要条件1.(1)我们知道,当“x1”成立时,能推出“x0”.那么“x0”的充分条件是否只能是“x1”?提示:不是.使结论“x0”成立的条件并不唯一,如“x1.2”,“3x≤4”等,有无数个.(2)由前面的知识,我们知道“x0”是“x1”的必要条件.那么“x1”的必要条件是否只能是“x0”?提示:不是.例如“x1”还能推出“x-1”“x≥”等,这些都是“x1”成立的必要条件.(3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:p⇒q,q⇒p.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条件,q也是p的必要条件.12一二(4)从命题“若p,则q”及其逆命题的真假角度,说一说p是q成立条件的所有情况.提示:原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p⇒q,且qpp是q的充分不必要条件假真q⇒p,且pqp是q的必要不充分条件真真p⇒q,且q⇒p,即p⇔qp是q的充要条件假假pq,且qpp是q的既不充分也不必要条件一二2.填空如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.3.做一做实数a,b,c不全为0的一个充要条件是()A.实数a,b,c均不为0B.实数a,b,c中至多有一个为0C.实数a,b,c中至少有一个为0D.实数a,b,c中至少有一个不为0答案:D探究一探究二随堂演练探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断例1(1)对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(3)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件探究一探究二随堂演练解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”“x2+y2=0”.(2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.(3)∵A∩B=A⇔A⊆B,∴“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.答案:(1)A(2)A(3)C探究一探究二随堂演练延伸探究例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充要条件.变式训练1设A、B为两个互不相同的集合.命题p:x∈A∩B;命题q:x∈A或x∈B.则p是q的()条件.A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要解析:若命题p:x∈A∩B成立,命题q:x∈A或x∈B一定成立;若命题q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要条件.答案:B探究一探究二随堂演练探究二充要条件的证明例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.分析:第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“0a4”,结论是“关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对一切实数x都成立”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.探究一探究二随堂演练证明:①必要性:若ax2-ax+10对于一切实数x都成立,由二次函数性质有𝑎0,𝛥0,即𝑎0,𝑎2-4𝑎0,所以0a4.②充分性:因为0a4,所以0𝑎41,即01-𝑎41,所以ax2-ax+1=a𝑥-122+1-𝑎40,所以若0a4,则ax2-ax+10对于一切实数x都成立.由①②知,命题得证.探究一探究二随堂演练反思感悟充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.探究一探究二随堂演练变式训练2求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:(必要性)∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究一探究二随堂演练1.“a=-3”是“|a|=3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.“x2”是“x1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A探究一探究二随堂演练3.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的条件.解析:a0且b0⇒a+b0且ab0;a+b0且ab0⇒a0且b0,故为充要条件.答案:充要探究一探究二随堂演练4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明:充分性:因为ac0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=0,即ac0,综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.𝑐𝑎𝑐𝑎