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1.2集合间的基本关系课标阐释思维脉络1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.一二三四一、子集与真子集1.观察下面实例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合;③设A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};④A={x|x是长方形},B={x|x是平行四边形};⑤A={x|x3},B={x|x2};⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.(1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗?提示:是.称集合A是集合B的子集.一二三四(2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:③⑥两对集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);①②④⑤这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.称集合A是集合B的真子集.(3)上述集合A,B的关系能不能用图形直观形象地表示出来?提示:能.如图,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.一二三四(4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗?提示:表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是矩形、圆、椭圆等,也可以是其他封闭曲线.(5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点?提示:优点在于易产生清晰的视觉印象,能直观地表示集合中元素的构成以及集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性质不明显.一二三四2.填空概念定义符号表示图形表示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集A⫋B(或B⫌A)对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,那么A⫋C一二三四3.做一做(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则()A.P∈QB.P⊆QC.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={x|-1x2},B={x|0x1},则()A.B⫋AB.A⫋BC.BAD.AB(1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.答案:C(2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B⫋A.答案:A一二三四二、集合相等1.(1)在子集的定义中,能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合?提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素).(2)本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.(3)本课时“一”中提出的各对集合中,③⑥这两对集合中的元素一样吗?它们之间存在什么样的包含关系?提示:③中,由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一个元素都是集合B中的元素,则A是B的子集;同时,集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,则B也是A的子集,即A和B两集合中的元素都是相同的.也就是说集合A与B相等.同理可以说明⑥中两个集合的元素也完全相同,即两集合相等.一二三四2.填空一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.3.做一做已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.答案:0一二三四三、空集1.(1)观察下面四个集合:①方程x2+1=0的实数根组成的集合;②不等式3x2+20的解组成的集合;③比5大1的负数组成的集合;④边长分别为1,1,4的三角形组成的集合.它们有什么共同特点?你还能举出类似的例子吗?提示:这4个集合中没有适合条件的元素.即集合中没有任何元素.(2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢?提示:空集.(3)空集与任何集合之间有什么关系?与非空集合呢?提示:规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.一二三四2.填空一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.3.做一做下列四个集合中,是空集的是()A.{0}B.{x|x8且x5}C.{x∈N|x2-1=0}D.{x|x4}答案:B一二三四四、子集与真子集的性质1.在实数中有如下结论:(1)对于任何一个实数a,有a≤a;(2)对于实数a,b,c,如果ab,且bc,那么ac.你能类比这两个结论,写出两个集合之间的类似关系吗?提示:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.2.上个问题中得到的第(2)条性质可以推广到真子集吗?提示:可以.对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C.探究一探究二探究三探究四思想方法写出给定集合的子集例1(1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?集合集合的子集子集的个数⌀{a}{a,b}{a,b,c}随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.集合集合的子集子集的个数⌀⌀1{a}⌀,{a}2{a,b}⌀,{a},{b},{a,b}4{a,b,c}⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为()A.2B.3C.4D.5解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练已知集合的交集、并集求参数例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a的值为.分析:9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.答案:5或-3探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练例4集合A={x|-1x1},B={x|xa}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x1},求a的取值范围.分析:利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件数形结合列出参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)A={x|-1x1},B={x|xa},且A∩B=⌀,如图1所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴a≤-1.(2)A={x|-1x1},B={x|xa},且A∪B={x|x1},如图2所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴-1a≤1.图1图2探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟已知集合运算求参数的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解:利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a-1.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练集合相等关系的应用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同,∴𝑥=2𝑥,𝑦=𝑦2或𝑥=𝑦2,𝑦=2𝑥,解得𝑥=0,𝑦=0或𝑥=0,𝑦=1或𝑥=14,𝑦=12.验证得,当x=0,y=0时,与集合中元素的互异性相矛盾,舍去.故x,y的取值为𝑥=0,𝑦=1或𝑥=14,𝑦=12.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演