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-1-第2课时集合的表示方法首页课标阐释思维脉络1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合等.课前篇自主预习一二知识点一、列举法1.思考用列举法可以表示无限集吗?提示:可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.2.填空.把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.3.做一做用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤}为{0,1,2}.5三课前篇自主预习一二知识点二、描述法1.思考用列举法与描述法表示集合的区别是什么?提示:列举法描述法一般形式{a1,a2,a3,…,an}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括三课前篇自主预习一二2.填空一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.做一做不等式5x2018在实数范围内的解集可表示为。𝑥∈R𝑥20185三课前篇自主预习一二三知识点三、区间的概念1.思考(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?提示:A={x|-3x≤2}(2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3x≤2}?提示:可以用区间表示为(-3,2].(3)区间与数集有何关系?提示:(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;(2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等;(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来,表示两个集合之间的运算.课前篇自主预习一二三2.填写下表定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|axb}开区间(a,b){x|a≤xb}半开半闭区间[a,b){x|ax≤b}半开半闭区间(a,b]{x|x≥a}[a,+∞)课前篇自主预习一二三定义名称符号数轴表示{x|xa}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a]{x|xa}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上的所有值课前篇自主预习一二三名师点拨1.区间表示了一个数集,主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等.2.若[a,b]是一个确定的区间,则隐含条件为ab.3.在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心圆圈表示.4.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开.5.用+∞,-∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式.课前篇自主预习一二三3.做一做把下列集合用区间表示出来.(1){x|2x3};(2){x|x≤2};(3){x|2x4}∪{x|5x9};(4){x|x≠0};(5){x|2≤x3}.答案:(1)(2,3);(2)(-∞,2];(3)(2,4)∪(5,9);(4)(-∞,0)∪(0,+∞);(5)[2,3).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数构成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;(3)一次函数y=x-1与的图像的交点构成的集合.分析:(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.解:(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12};(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4};y=-23x+43(3)方程y=x-1与y=-23x+43可分别化为x-y=1与2x+3y=4,则方程组𝑥-𝑦=1,2𝑥+3𝑦=4的解是𝑥=75,𝑦=25,所求集合可表示为75,25.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟列举法应用的解题策略1.一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元素间的规律呈现清楚,才能用省略号.2.要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素,从而用相应的形式写出元素表示集合.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练1试用列举法表示下列集合:(1)满足-3≤x≤0,且x∈Z;(2)倒数等于其本身数的集合;(3)满足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序数对;(4)方程x2-4x+4=0的解.解:(1)∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.故满足条件的集合为{-3,-2,-1,0}.(2)∵x=,∴x=±1.∴满足条件的集合为{-1,1}.(3)∵x+y=3,且x∈N,y∈N,∴当x=0时,y=3;当x=1时,y=2;当x=2时,y=1;当x=3时,y=0.∴满足条件的集合为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.(4)∵方程x2-4x+4=0的解为x=2,∴满足条件的集合为{2}.1𝑥当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析用描述法表示集合例2用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合;(3)使有意义的实数x组成的集合;(4)200以内的正奇数组成的集合;(5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.分析:用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.y=2-𝑥𝑥当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.(2)第二象限内的点(x,y)满足x0,且y0,故集合可表示为{(x,y)|x0,y0}.(3)要使该式有意义,需有2-𝑥≥0,𝑥≠0,解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.(4){x|x=2k+1,x200,k∈N}.(5){x|x2-5x-6=0}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用描述法表示集合应注意的问题1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他形式;2.准确说明集合中元素所满足的特征;3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练2给出下列说法:①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy0};②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.0个答案:A当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析含参数问题例3已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.当a=1时,M={1,0},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;当a≠1,且a≠2时,a+1+a-1=3,则a=32,M=12,1,32,符合题意.综上所述,实数a的值为2或32,当a=2时,M={1,2};当a=32时,M=12,1,32.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.对于集合的表示方法中的含参数问题不仅要注意弄清集合的含义,也要清楚参数在集合中的地位.2.含参数问题常用分类讨论思想来解决,在讨论参数时要做到不重不漏.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析延伸探究若将本例中的“各元素之和等于3”改为“各元素之和等于1”,则a的值又如何?解:a的值为1或.12当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析元素分析法解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确定性、互异性、无序性)典例下列四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.(1)它们各自的含义是什么?(2)它们是不是相同的集合?分析:在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本特征.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),表示的是该函数自变量的取值范围.显然x∈R,该集合表示实数集R.②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为元素的集合.(2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不小于1的实数集,集合③是抛物线上的点构成的点集,集合④是单元素集.故它们是互不相同的集合.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析方法点睛元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合①是后面要学到的函数定义域,集合②是函数的值域.当堂检测课堂篇探究学习1.集合{x∈N+|2x-19}的另一种表示方法是()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案:B2.下列各组中的M,P表示同一集合的是()A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R}D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}解析:选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量构成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图像上所有点构成的集合.答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习3.用列举法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是.解析:∵x=-2,-1,0,1,2,∴对应的函数值y=3,0,-1,0,3,∴集合A用列举法可表示为{-1,0,3}.答案:{-1,0,3}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习4.若A={2,3,4},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为.解析:当n=2,m=3时,n-m=-1;当n=2,m=4时,n-m=-2;当n=3,m=4时,n-m=-1;当n=3,m=2时,n-m=1;当n=4,m=2时,n-m=2;当n=4,m=3时,n-m=1.所以集合B中的元素共4个:-2,-1,1,2.答案:4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习5.用列举法表示下列集合.(1)A=𝑥∈Z63-𝑥∈