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第1课时集合的概念与几种常见的数集课标阐释思维脉络1.通过实例,了解集合的含义.2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的“属于”关系.4.记住常用数集及其记法.一二三四一、元素与集合的概念1.亲爱的同学,祝贺你成为一名高中生!当你走进这个校园时,一切都是那么的新鲜:①校园里所有的建筑物形态各异;②教你们班的各科老师学识渊博;③班里的所有同学都朝气蓬勃,有男同学,有女同学;④班里还有一些同学个子比较高,有一些同学比较帅;⑤校园里还有不少大树……(1)以上各语句中要说明的对象分别是什么?提示:①校园里所有的建筑物;②教你们班的各科老师;③班里的所有同学,男同学,女同学;④个子比较高的同学,比较帅的同学;⑤大树.(2)哪个语句中涉及的对象不确定?为什么?提示:④⑤中涉及的对象不确定.因为比较高、比较帅、大树都没有明确的划分标准.一二三四2.填空一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.一二三四二、集合中元素的特性1.(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题?提示:比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”标准不确定;身高不低于180cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性.一二三四(2)学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这天进的货物构成一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么?提示:有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面.说明集合中元素具有互异性.重复的元素只能算一个.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.(3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗?说明什么?提示:集合没有改变,因为元素是一样的.说明集合中元素具有无序性.一二三四2.填空(1)集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.(2)只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.一二三四3.做一做下列说法正确的是()A.我校爱好足球的同学组成一个集合B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合解析:选项A不满足确定性,故错误;选项B中漏了元素0,故错误;选项C满足集合元素的互异性、无序性和确定性,故正确;答案:CD.数1,0,5,12,32,64,14组成的集合中有7个元素选项D,32和64,12和14分别相等,所以组成的集合中有5个元素,错误.一二三四三、元素与集合的关系1.(1)你所在班级中的所有同学组成了一个集合.任意指定一位同学,这位同学与这个班集体有什么关系?提示:任意指定一位同学,要么属于这个班集体,要么不属于.即元素与集合只有两种关系:属于和不属于.(2)由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关系?提示:因为21成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A;因为11不成立,所以1不是集合A中的元素,即1不属于集合A.一二三四2.填空关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A一二三四3.做一做已知集合A中的元素x满足x-1,则下列各式正确的是()A.3∈A且-3∉AB.3∈A且-3∈AC.3∉A且-3∉AD.3∉A且-3∈A答案:D解析:∵3-1=23,∴3∉A.∵-3-1=-43,∴-3∈A.故选D.3一二三四四、常用数集及其记法1.(1)0是自然数吗?0是正整数吗?0是整数吗?提示:0是自然数,是整数,不是正整数.(2)自然数集与正整数集有什么区别?提示:自然数集包含0,正整数集不包含0.(3)什么是有理数?什么是无理数?提示:正整数,0,负整数,正分数,负分数这样的数称为有理数;无理数也称为无限不循环小数,不能写成两个整数的比.2.填空数集名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集字母表示NN*或N+ZQR一二三四3.做一做用符号“∈”或“∉”填空:(1)1N*;(2)-3N;答案:(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈(3)13Q;(4)3Q;(5)-12R.探究一探究二探究三随堂演练集合的概念例1给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥的近似值的全体.其中能够构成集合的有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:判断一组对象能否构成集合,就看判断标准是否明确.解析:①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.答案:B2探究一探究二探究三随堂演练反思感悟一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:探究一探究二探究三随堂演练变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是()A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数解析:选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.答案:ACDD.函数y=1𝑥图象上所有的点探究一探究二探究三随堂演练元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R;②∉Q;③0∈Z;④|-1|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值;③若1∉A,求实数a的取值范围.(3)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素?222探究一探究二探究三随堂演练分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可.(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.探究一探究二探究三随堂演练(1)解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.答案:C(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.(3)解:是.因为-6+22=3×(-2)+2×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+22是集合A中的元素.探究一探究二探究三随堂演练反思感悟判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.(3)若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.探究一探究二探究三随堂演练变式训练2(1)下列所给关系正确的是()A.2∈NB.-1∈NC.12∈ND.9∈N(2)已知集合A是由形如m+3n(其中m,n∈Z)的数组成的,判断12-3是不是集合A中的元素?(1)答案:D(2)解是.因为12-3=2+3,此时m=2,n=1,满足集合A中数的构成形式,所以12-3是集合A中的元素.探究一探究二探究三随堂演练集合中元素的特性及其应用例3已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析:由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.解:因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-32.当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1.当a=-32时,经检验,符合题意.故a=-32.反思感悟先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.32探究一探究二探究三随堂演练延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?探究一探究二探究三随堂演练解:(1)有限制.解a-2≠12,得a≠14;解2a2+5a≠12,即(2a-3)(a+4)≠0,得a≠且a≠-4;解2a2+5a≠a-2,即a2+2a+1≠0,得a≠-1.所以实数a不能取四个值:14,,-4,-1.(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.由元素的互异性可得𝑎-2≠12,2𝑎2+5𝑎≠12,𝑎-2≠2𝑎2+5𝑎.3232探究一探究二探究三随堂演练1.下列给出的对象,能构成集合的是()A.一切很大的数B.无限接近零的数C.聪明的人D.方程x2=2的实数根解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能构成集合;选项D中方程x2=2的实数根为x=-或x=,具有确定性,所以能构成集合.答案:DA.a∈A,且b∉AB.a∉A,且b∈AC.a∈A,且b∈AD.a∉A,且b∉A答案:B222.已知集合A中的元素x满足x≤23,x∈R,a=14,b=22,则()解析:由1423,可得a∉A.由2223,可得b∈A.探究一探究二探究三随堂演练3.已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.答案:D4.用符号∈或∉填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)(1)1A,2A,3A;解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1∉A,2∈A,3∈A.答案:(1)∉∈∈(2)∉∈∈(2)32Z,33R,9N.(2)由32不是整数,33是实数,9是自然数,得32∉Z,33∈R,9∈N.探究一探究二探究三随堂演练5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.解:根据集合中元素的互异性知𝑥2≠0,-𝑥≠0,𝑥2≠-𝑥,解得𝑥≠0,𝑥≠-1.故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1.