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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题四专题一四种命题及其相互关系四种命题的形式和关系如下图:由原命题构造逆命题只要将p和q换位就可以.由原命题构造否命题只要将p和q分别否定为¬p和¬q,但p和q不换位.由原命题构造逆否命题时,不仅要将p和q换位,而且要将换位后的p和q都否定.综合应用专题一专题二专题三专题四原命题为真,它的逆命题不一定为真.原命题为真,它的否命题不一定为真.原命题为真,它的逆否命题一定为真.因为互为逆否命题同真同假,所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个,逆命题和否命题中的一个,即只讨论两种就可以了,不必对四种命题形式一一加以讨论.综合应用专题一专题二专题三专题四应用写出命题“两条对角线不相等的平行四边形不是矩形”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.提示:应当先把原命题改写成“若p,则q”的形式,再设法构造其余三种形式的命题.要注意对大前提的处理.解:原命题可以写成“若一个平行四边形的两条对角线不相等,则它不是矩形”,是真命题.逆命题是“若一个平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相等”,是真命题.否命题是“若一个平行四边形的两条对角线相等,则它是矩形”,是真命题.逆否命题是“若一个平行四边形是矩形,则它的两条对角线相等”,是真命题.综合应用专题一专题二专题三专题四专题二充分条件与必要条件1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类:(1)充分不必要条件,即p⇒q,而qp.(2)必要不充分条件,即pq,而q⇒p.(3)充要条件,既有p⇒q,又有q⇒p.(4)既不充分也不必要条件,既有pq,又有qp.2.充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断:即“若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件”.(2)利用等价命题的关系判断:“p⇒q”的等价命题是“q⇒p”,即“若q⇒p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件”.综合应用专题一专题二专题三专题四应用1设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件提示:本题考查了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题.解析:因为由x3=x,解得x=0,x=1或x=-1,所以“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件.答案:A综合应用专题一专题二专题三专题四应用2已知p:x2-8x-200,q:x2-2x+1-a20,若p是q的充分不必要条件,则正实数a的取值范围是.解析:A={x|x2-8x-200}={x|x-2或x10},B={x|x2-2x+1-a20}={x|x1-a或x1+a}.由p是q的充分不必要条件,可知A⫋B,从而𝑎0,1-𝑎≥-2,1+𝑎10或𝑎0,1-𝑎-2,1+𝑎≤10,解得0a≤3.故正实数a的取值范围为(0,3].答案:(0,3]综合应用专题一专题二专题三专题四专题三逻辑联结词1.“p∨q”的真假性:当p与q中至少有一个是真命题时,“p∨q”为真命题;当p,q都是假命题时,“p∨q”为假命题,即有真则真.2.“p∧q”的真假性:当p,q都是真命题时,“p∧q”为真命题;当p为真命题,q为假命题,或当p为假命题,q为真命题,或当p为假命题,q为假命题时,“p∧q”为假命题,即有假则假.3.“p”的真假性:若p是真命题,则p必是假命题;若p是假命题,则p必是真命题.综合应用专题一专题二专题三专题四应用指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p,q,并判断它们的真假.(1)5≥3;(2)(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)既能被2整除,又能被3整除.提示:先确定构成复合命题的原命题p,q,再利用真值表判断真假.解:(1)此命题为“p∨q”形式的命题,其中,p:53;q:5=3.此命题为真命题,因为p为真命题,q为假命题,所以“p∨q”为真命题.(2)此命题为“p∧q”形式的命题,其中,p:(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被2整除;q:(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被3整除.此命题为真命题,因为p为真命题,q也是真命题,故“p∧q”为真命题.综合应用专题一专题二专题三专题四专题四全称命题与特称命题1.判断命题是全称命题还是特称命题,关键是找出命题中含有的量词,注意隐含量词需依据命题的特点挖掘出来.2.对全称命题或特称命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或者把存在量词改成全称量词,同时否定结论.3.含有量词的命题的含参数问题,常常将命题的真假转化为不等式恒成立、不等式有解、方程有解、方程无解、函数的最值等问题进行求解.综合应用专题一专题二专题三专题四应用判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号形式写出其否定并判断命题的否定的真假性.(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)存在实数x,使得1𝑥2-𝑥+1=2.提示:本题考查含有量词的命题的含义以及符号表示,命题的否定的真假判断可以从原命题或原命题的否定处理.解:(1)特称命题,否定:∀α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.(2)全称命题,否定:存在直线l,l没有斜率,真命题.(3)特称命题,否定:∀x∈R,1𝑥2-𝑥+1≠2,真命题.真题放送123451(2018天津高考)设x∈R,则“x38”是“|x|2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由x38,得x2.由|x|2,得x2或x-2.故由x38可以推出|x|2,而由|x|2不能推出x38,所以x38是|x|2的充分而不必要条件.答案:A真题放送123452(2018北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.答案:C真题放送123453(2017浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2𝑑,所以S4+S62S5⇔10a1+21d10a1+20d⇔d0,即“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件,选C.答案:C真题放送123454(2017山东高考)已知命题p:∀x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)解析:对∀x0,都有x+11,所以ln(x+1)0,故p为真命题.又1-2,但12(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故p∧(q)为真命题.故选B.答案:B真题放送123455(2018北京高考)能说明“若f(x)f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.解析:画出f(x)=𝑥,0≤𝑥≤1,-12𝑥+32,1𝑥≤2的图象如图所示,满足f(x)f(0),x∈(0,2].但f(x)在[0,2]上不是增函数.答案:f(x)=𝑥,0≤𝑥≤1,-12𝑥+32,1𝑥≤2(答案不唯一)真题放送