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-1-1.3简单的逻辑联结词目标导航1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会使用联结词“且”“或”“非”,并会改写某些数学命题,会判断含有联结词的命题的真假.知识梳理1.一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的新命题,记作p∧q,读作“p且q”.知识拓展对“且”的理解,可联想集合中“交集”的概念,“x∈A∩B”是指“x∈A”“x∈B”要同时满足的意思,即x既属于集合A,又属于集合B,用“且”联结两个命题p与q构成的新命题“p且q”,只有当“p真q真”时,“p且q”为真.知识梳理2.一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题,记作p∨q,读作“p或q”.知识拓展对“或”的理解,可联想并集的概念,“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的,即可以“x∈A,且x∉B”,也可以“x∉A,且x∈B”,也可以“x∈A,且x∈B”.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的.由“或”联结两个命题p和q构成的新命题“p或q”,在“p真q假”“p假q真”“p真q真”时,“p或q”都为真.【做一做1】若xy=0,则x=0y=0;若xy≠0,则x≠0y≠0.(填“且”或“或”)答案:或且知识梳理3.一般地,对一个命题p全盘否定,得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”.知识拓展对“非”的理解,可联想集合中“补集”的概念.“非”有否定的意思,一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个新命题“非p”.当p为真时,则“非p”为假;当p为假时,则“非p”为真.若将命题p对应集合P,则命题“非p”就对应集合P在全集U中的补集∁UP.【做一做2】命题“在△ABC中,三个内角分别为A,B,C,若C=90°,则A,B都是锐角”的否定为.答案:在△ABC中,三个内角分别为A,B,C,若C=90°,则A,B不都是锐角知识梳理4.已知p,q的真假时,常用下列表格(称为真值表)判断p∧q,p∨q,p的真假.pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真归纳总结对于“且”,p和q同为真才是真,只要有一个为假则为假;对于“或”,p和q同为假才是假,只要有一个为真则为真;p与p则有相反的真假性.知识梳理【做一做3】下列命题:①2020年10月1日既是国庆节,又是中秋节;②10的倍数一定是5的倍数;③梯形不是矩形;④方程x2=1的解是x=±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①中有逻辑联结词“且”;③中有逻辑联结词“非”;④中有逻辑联结词“或”.答案:C重难聚焦剖析(1)命题的否定:“非”命题是对原命题结论的否定,一个命题p经过使用逻辑联结词“非”,就构成一个新命题“p”,称为命题的否定.“p”形式的新命题与原命题构成一对矛盾命题,但“p”绝不是“是”与“不是”的简单演绎.对于“非”命题的四点注意:①“p”是否定命题p的结论,不否定命题p的条件,这也是“p”与否命题的区别;②p与“p”真假必相反;③“p”必须包含p结论的所有对立面;④“p”必须对p中结论的关键词进行否定.重难聚焦(2)否命题:一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题为互否命题.写一个命题的否命题时应对原命题的条件和结论同时否定.原命题与否命题真假性没有关系.(3)注意事项:①逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集,假定p与“p”的结论所确定的集合分别是A,B,则A,B必须满足A∪B=U(全集),A∩B=⌀.②要透彻地理解常用词语对应的否定词语.典例透析题型一题型二题型三题型四分析命题的构成【例1】指出下列命题的形式及构成它们的简单命题:(1)48是16和12的倍数;(2)方程x2+x+3=0没有实数根;(3)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形;(4)他是运动员兼教练员.分析:(1)中“和”表示“且”结构;(2)中“没有”表示“非”结构;(3)中“或”表示“或”结构;(4)中“兼”表示“且”结构.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)是“p∧q”形式的命题,其中p:48是16的倍数,q:48是12的倍数.(2)是“p”形式的命题.其中p:方程x2+x+3=0有实数根.(3)是“p∨q”形式的命题.其中p:菱形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外切四边形.(4)是“p∧q”形式的命题.其中p:他是运动员,q:他是教练员.反思正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键,有些命题不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词,要结合命题的具体含义进行正确的判定.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】用逻辑联结词“或”“且”“非”改写下列命题:(1)96既是48的倍数,又是16的倍数;(2)方程x2-3=0没有有理数根;(3)2≥3.解:(1)这个命题是“p∧q”的形式,即96是48的倍数且96是16的倍数.(2)这个命题是“p”的形式,其中p方程x2-3=0没有有理数根.(3)这个命题是“p∨q”的形式,即23或2=3.典例透析题型一题型二题型三题型四判断含逻辑联结词的命题的真假【例2】判断下列命题的真假:(1)3≥2;(2)3≥3;(4)7不是42的约数.分析:(1)(2)中都是“p∨q”形式,即32或3=2,33或3=3;(3)中是“p∧q”形式;(4)中是“p”形式.(3)2属于集合Q,也属于集合R;典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)是“p∨q”形式的命题.其中p:32,q:3=2.p为真,q为假,故原命题为真命题.(2)是“p∨q”形式的命题.其中p:33,q:3=3.p为假,q为真,故原命题为真命题.(3)是“p∧q”形式的命题.其中p:2属于集合Q,q:2属于集合R.p为假,q为真,故原命题为假命题.(4)是“p”形式的命题.其中p:7是42的约数.p为真,故原命题为假命题.反思判断含逻辑联结词的命题的真假,首先要分清命题的结构是“p∨q”“p∧q”,还是“p”,然后判断“p”“q”的真假,最后结合真值表进行判断.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】指出下列命题的真假:(1)不等式|x+2|≤0没有实数解;(2)-1是偶数或奇数;(3)0属于集合Q,也属于集合R;(4)A⊈(A∪B).典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)此命题是“p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.∵x=-2是该不等式的一个解,∴命题p为真命题,即¬p是假命题.故原命题为假命题.(2)此命题是“p∨q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.∵命题p为假命题,命题q为真命题,∴命题“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式,其中p:0∈Q,q:0∈R,命题p为真命题,命题q为真命题,故原命题为真命题.(4)此命题为“p”的形式,其中p:A⊆(A∪B).∵p为真命题,∴p为假命题,故原命题为假命题.典例透析题型一题型二题型三题型四利用命题的真假求参数的取值范围【例3】已知a0,命题p:对任意x0,恒成立,命题q:对任意k∈R,直线kx-y+2=0与圆x2+y2=a2恒有交点.是否存在正数a,使得p∧q为真命题?若存在,请求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.分析:若p∧q为真,则p和q都为真,从而可求出a的取值范围.x+𝑎𝑥≥2解:对任意x0,由x+𝑎𝑥≥2𝑎,知要使x+𝑎𝑥≥2恒成立,应有2𝑎≥2,故a≥1;对任意k∈R,直线kx-y+2=0恒过定点(0,2),要使直线kx-y+2=0与圆x2+y2=a2恒有交点,应有22≤a2,解得a≥2.若p∧q为真命题,则p与q都为真命题,因此𝑎≥1,𝑎≥2,故a≥2.综上可知存在a≥2,使得p∧q为真命题.典例透析题型一题型二题型三题型四反思解决这类问题的关键是由“p∧q”“p∨q”的真假确定p和q的真假.如“p∧q”为假,应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”三种情况;“p∨q”为假,则只有“p假q假”一种情况;而“p”的真假性一定与p的真假性相反.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】设命题p:实数x满足x2-4x+30,命题q:实数x满足𝑥2-𝑥-6≤0,𝑥2+2𝑥-80,若𝑝∧q为真,求实数x的取值范围.解:由𝑥2-𝑥-6≤0,𝑥2+2𝑥-80,解得-2≤𝑥≤3,𝑥2或𝑥-4,即2x≤3.∵p:1x3,若p∧q为真,则1𝑥3,2𝑥≤3,即2x3.∴实数x的取值范围为(2,3).典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点对命题的否定把握不准致错【例4】若p:x2-2x-30,q:1𝑥2-𝑥-60,试判断�p是�q的什么条件.错解:¬p:x2-2x-3≤0⇔-1≤x≤3.¬q:1𝑥2-𝑥-6≤0⇔-2x3,故¬p是¬q的既不充分也不必要条件.错因分析:对¬q的求解错误,产生错误的原因在于对命题的否定的概念理解错误,误认为¬q为1𝑥2-𝑥-6≤0,事实上x2-x-6=0也属于�q的一部分,这样导致了不等价变换引起失误.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:∵p:x2-2x-30⇔x-1或x3,∴¬p:-1≤x≤3.∵q:1𝑥2-𝑥-60⇔x-2或x3,∴¬q:-2≤x≤3.∴¬p⇒¬q,但¬q¬p.∴¬p是¬q的充分不必要条件.典例透析