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-1-1.2充分条件与必要条件目标导航1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.会判断p是不是q的充分条件、必要条件、充要条件.知识梳理1.一般地,“若p,则q”为真命题,即由p⇒q,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.名师点拨根据充分条件与必要条件的定义,以下几种说法是等价的:(1)p⇒q;(2)p是q的充分条件;(3)q是p的必要条件;(4)q的充分条件是p;(5)p的必要条件是q.知识梳理2.一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.名师点拨1.p与q互为充要条件可以理解为“p成立当且仅当q成立”或者“p等价于q”.2.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.3.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件.否则,不能说p是q的充要条件.知识梳理【做一做1】“|x|=|y|”是“x=y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y;而x=y⇒|x|=|y|.答案:B【做一做2】已知a,b是实数,则“a0,且b0”是“a+b0,且ab0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:对于“a0,且b0”可以推出“a+b0,且ab0”,反之也是成立的.答案:C知识梳理【做一做3】“α=π3”是“cos𝛼=12”的_____________条件.解析:若α=π3,则cosα=12一定成立,若cosα=12,则α=±π3+2𝑘π,𝑘∈Z,α不一定是π3.答案:充分不必要重难聚焦1.从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义剖析:(1)从逻辑关系上看:条件p与结论q的关系结论p⇒qp是q成立的充分条件p⇒q,但qpp是q成立的充分不必要条件q⇒pp是q成立的必要条件q⇒p,但pqp是q成立的必要不充分条件p⇒q,q⇒p,即p⇔qp是q成立的充要条件pq,且qpp是q成立的既不充分也不必要条件重难聚焦例如,“若x0,则x20”,即由x0可推出x20,记作x0⇒x20,我们说“x0”是“x20”的充分条件,即只要“x0”成立,就一定有“x20”成立.p是q的充分条件,“充分”的意思是:要使q成立,条件p成立就足够了,即有p成立,可充分保证q成立.由x0⇒x20,则说“x20”是“x0”的必要条件,即如果要“x0”成立,就必须“x20”成立.如果缺少“x20”就不会有x0,换句话说,如果“x20”不成立,即“x2=0”成立,就不会有“x0”成立.q⇒p的逆否命题是p⇒q,即“若p不成立,则q就不成立”,换句话说,缺少了p,q是不会成立的.这更能从字面的意思上理解必要条件.重难聚焦(2)从集合与集合之间的关系上看:如果命题p,q分别以集合A={x|p(x)},集合B={x|q(x)}的形式出现,那么p,q之间的关系可借助集合知识来判断.集合关系Venn图结论A⫋Bp是q的充分不必要条件A⊆B或p是q的充分条件B⫋Ap是q的必要不充分条件B⊆A或p是q的必要条件A=Bp是q的充要条件A⊄B,且B⊄A或p是q的既不充分也不必要条件重难聚焦例如,A={中学生},B={学生},A⊆B,即某人是中学生,必是学生,故“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件,若“某人是学生”,则他不一定是中学生,而“某人不是学生”,则他一定不是中学生,所以“某人是学生”是“某人是中学生”的必要条件,如图所示.重难聚焦2.两种不同叙述形式下条件、结论与推出关系的对比剖析叙述形式条件结论推出关系p是q的充分不必要条件pqp⇒q,但qpp是q的必要不充分条件q⇒p,但pqp是q的充要条件p⇒q,且q⇒pp的充分不必要条件是qqpq⇒p,但pqp的必要不充分条件是qp⇒q,但qpp的充要条件是qq⇒p,且p⇒q重难聚焦3.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题剖析:(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要采用以下方法:①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试从条件推结论,若p⇒q,则充分性成立,p是q的充分条件;③考虑从结论推条件,若q⇒p,则q是p的充分条件,即p是q的必要条件,必要性成立;④要证明命题的条件是充要的,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件,证明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件.重难聚焦(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识十分重要.典例透析题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件和充要条件的判断A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,∴Δ=1-4m≥0,即m≤14.∴“m14”是“关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.故选A.答案:A【例1】“m14”是“关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑥+𝑚=0有实数解”的()典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.判断p是q的什么条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立,若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.2.关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若a,b∈R,则“(a-b)a20”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由ab,若a=0,则(a-b)a2=0,不能推出“(a-b)a20”,因此,必要性不成立.由(a-b)a20及a20,则ab.因此,充分性成立.综上可得“(a-b)a20”是“ab”的充分不必要条件.答案:A典例透析题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件、充要条件的应用【例2】已知函数f(x)=4sin2π4+𝑥-23cos2x-1.(1)当π4≤x≤π2时,求f(x)的最大值及最小值;(2)若p:𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=4sin2π4+𝑥-23cos2𝑥-1,π4≤𝑥≤π2,又给定条件q:“|f(x)-m|2”,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)f(x)=21-cosπ2+2𝑥-23cos2x-1=2sin2x-23cos2x+1=4sin2𝑥-π3+1.∵π4≤x≤π2,∴π6≤2x-π3≤2π3,∴3≤4sin2𝑥-π3+1≤5,∴f(x)max=5,f(x)min=3.(2)由(1)知3≤f(x)≤5.∵|f(x)-m|2,∴m-2f(x)m+2.又p是q的充分条件,∴𝑚-23,𝑚+25,解得3m5.典例透析题型一题型二题型三题型四反思涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包含、相等关系来考虑制约关系.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】把例2(2)中“且p是q的充分条件”改为“且p是q的必要条件”,求实数m的取值范围.解:∵|f(x)-m|2,∴m-2f(x)m+2.又p是q的必要条件,∴𝑚-2≥3,𝑚+2≤5,∴𝑚∈⌀.典例透析题型一题型二题型三题型四充要条件的证明【例3】已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明:必要性:∵a+b=1,∴a+b-1=0,∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a2-ab+b2=𝑎-𝑏22+34𝑏20.∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.典例透析题型一题型二题型三题型四反思有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性,由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性.证明过程要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性证明或将必要性错当充分性证明.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)·(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.综上可知,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点混淆充分性与必要性致错【例4】一次函数y=−𝑚𝑛𝑥+1𝑛的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A.m0,n0B.mn0C.m0,n0D.mn0错解:由题意可得,一次函数y=−𝑚𝑛𝑥+1𝑛的图象同时经过第一、二、四象限,即-𝑚𝑛0,1𝑛0,解得m0,n0,所以选A.典例透析题型一题型二题型三题型四错因分析p的必要不充分条件是q,即q是p的必要不充分条件,则qp,且p⇒q,故本题应是题干⇒选项,而选项题干,选项A为充要条件.正解一次函数y=−𝑚𝑛𝑥+1𝑛的图象同时经过第一、第二和第四象限,即-𝑚𝑛0,1𝑛0,得m0,n0.由题意可得,m0,n0可以推出选项条件,而反之不成立,所以选D.答案:D典例透析