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-1-1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系目标导航1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.2.会分析四种命题间的相互关系.知识梳理1.四种命题一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”.对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若p,则q”.知识梳理对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为“若q,则p”.名师点拨1.四种命题中的原命题具有相对性,任何一个都可以作为原命题,当原命题确定后,其逆命题、否命题、逆否命题也就随之确定.2.在写一个命题其他三种形式的命题时,首先应该将命题改写为“若p,则q”的形式.知识梳理【做一做1】已知命题p:若x=π4,则tan𝑥=1,则命题的逆命题为________;命题𝑝的否命题为___________;命题𝑝的逆否命题为_____.答案:若tanx=1,则x=π4若𝑥≠π4,则tan𝑥≠1若tanx≠1,则x≠π4知识梳理2.四种命题间的相互关系知识梳理归纳总结1.若命题p和q互为逆命题,则p的逆命题为q,q的逆命题为p,因此“互逆”关系具有对称性,同理“互否”“互为逆否”也具有对称性.2.注意“互为逆否命题”与“逆否命题”的区别,互为逆否命题指的是两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具有单向性.知识梳理【做一做2】给出以下命题:①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;②若一个四边形的对角互补,则它内接于圆;③正方形的四条边相等;④圆内接四边形的对角互补;⑤对角不互补的四边形不内接于圆;⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.其中互为逆命题的有;互为否命题的有;互为逆否命题的有.解析:命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.因此互为逆命题的有③和⑥,②和④;互为否命题的有①和⑥,②和⑤;互为逆否命题的有①和③,④和⑤.答案:③和⑥,②和④①和⑥,②和⑤①和③,④和⑤知识梳理3.四种命题的真假之间的关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.名师点拨1.在原命题、逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数一定是偶数.2.可以通过判断一个命题的逆否命题的真假来确定原命题的真假.【做一做3】命题“若a≠0,且b≠0,则ab≠0”的逆否命题是,原命题是命题.(填“真”或“假”)解析:原命题的逆否命题是“若ab=0,则a=0或b=0”.因为逆否命题显然为真命题,故由互为逆否的命题具有相同的真假性可知,原命题也为真命题.答案:若ab=0,则a=0或b=0真重难聚焦1.“正难则反”思想的处理原则剖析(1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在直接证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.2.利用原命题与逆否命题等价性证明问题的步骤剖析(1)根据要证的问题,构造命题“若p,则q”,作为原命题;(2)写出其逆否命题;(3)证明逆否命题的正确性;(4)由等价性得到原命题的正确性.典例透析题型一题型二题型三题型四写出原命题的其他形式的命题【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)若x2,则x24;(2)正偶数不是质数;(3)若m2+n2=0,则m=0,且n=0.分析:先将原命题改写成“若p,则q”的形式,再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)逆命题:若x24,则x2.否命题:若x≤2,则x2≤4.逆否命题:若x2≤4,则x≤2.(2)原命题可改写为:若一个正数是偶数,则它不是质数.逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(3)逆命题:若m=0,且n=0,则m2+n2=0.否命题:若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0.逆否命题:若m≠0或n≠0,则m2+n2≠0.反思在写四种命题时,要找出原命题的条件和结论,把结论作为条件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作为结论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】写出命题“若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形”的逆命题、否命题、逆否命题.分析:本题已具备“若p,则q”的形式,因此可直接写出逆命题、否命题、逆否命题.解:逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则这个四边形的对角不互补.典例透析题型一题型二题型三题型四四种命题的真假判断【例2】判断下列各个命题的真假.(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;(2)“正多边形都相似”的逆命题;(3)“若x−3是有理数,则𝑥是无理数”的逆否命题.分析:可以先根据要求写出每个命题,再判断真假,也可以不写出命题,而是利用四种命题之间的等价关系进行判断.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)(方法1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题.(方法2)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,所以该命题的否命题是真命题.(2)(方法1)“正多边形都相似”的逆命题是“若两个多边形相似,则它们都是正多边形”,显然是假命题.(方法2)“正多边形都相似”的否命题是“若两个多边形不是正多边形,则它们不相似”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,所以该命题的逆命题是假命题.(3)(方法1)“若x−3是有理数,则x是无理数”的逆否命题是“若x不是无理数,则x−3不是有理数”,是真命题.(方法2)由于命题“若x−3是有理数,则x是无理数”是真命题,因此其逆否命题也是真命题.典例透析题型一题型二题型三题型四反思判断一个命题的真假通常有以下两种方法:(1)分清命题的条件与结论,直接对该命题的真假进行判断;(2)根据命题之间的关系进行判断,即原命题与逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常都是通过判断其逆否命题的真假来实现.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0解析:本题考查等价命题真假的判断,原命题为真命题,故逆否命题为真命题,而逆命题和否命题都是假命题.答案:C典例透析题型一题型二题型三题型四用互为逆否命题的等价性证明命题【例3】对于正实数x,y,x+y2.求证:𝑦+1𝑥,𝑥+1𝑦中至少有一个小于2.分析:将要证明的问题看作一个命题,只需证明这个命题为真命题即可.当证明这个命题本身的真假比较困难时,可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题.证明:假设𝑦+1𝑥≥2,且𝑥+1𝑦≥2.因为x,y为正实数,所以𝑦+1≥2𝑥,𝑥+1≥2𝑦.①②由①+②,得x+y≤2,这与题设中x+y2矛盾.故𝑦+1𝑥,𝑥+1𝑦中至少有一个小于2.典例透析题型一题型二题型三题型四反思命题的结论涉及至少、至多、唯一、存在等的证明时,往往从反面考虑.常见的一些词语和它的否定词语对照:原词等于(=)大于()小于()是都是至多有一个至多有n个至少有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个至少有(n+1)个一个也没有典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+π2,𝑏=𝑦2−2𝑧+π3,𝑐=𝑧2−2𝑥+π6,求证:𝑎,𝑏,𝑐中至少有一个大于0.证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.∵a+b+c=𝑥2-2𝑦+π2+𝑦2-2𝑧+π3+𝑧2-2𝑥+π6=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∴a+b+c0,这与a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于0.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽视命题中隐含条件致错【例4】写出命题“两个有理数的和是有理数”的否命题.错解:否命题:若两个数不是有理数,则它们的和不是有理数.错因分析:把原命题改为“若p,则q”的形式为“若两个数是有理数,则它们的和是有理数”,其中条件中的“是”是指“都是”之意,往往容易忽视这一点而导致错误.正解:否命题:若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数.反思要注意命题中的隐含条件的挖掘.典例透析