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-1-2.相似三角形的性质XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.掌握相似三角形的性质.2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.相似三角形的性质相似三角形的性质定理相似三角形外接圆的性质XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且AD∶A'D'=5∶3,下面给出四个结论:①BC∶B'C'=5∶3;②△ABC的周长∶△A'B'C'的周长=5∶3;③△ABC与△A'B'C'的对应高之比为5∶3;④△ABC与△A'B'C'的对应中线之比为5∶3.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析因为AD,A'D'是相似三角形△ABC和△A'B'C'对应的角平分线,且AD∶A'D'=5∶3,所以△ABC和△A'B'C'的相似比为5∶3.故对应边BC与B'C'的比为5∶3,结论①正确;由相似三角形的性质定理知②③④也正确,故选D.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.相似三角形的外接圆的性质相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2已知△ABC∽△A'B'C',𝐴𝐵𝐴'𝐵'=23,△ABC外接圆的直径为4,则△A'B'C'外接圆的直径等于()A.2B.3C.6D.9解析设△A'B'C'和△ABC外接圆的直径分别是d',d,则𝑑'𝑑=𝐴'𝐵'𝐴𝐵,∴𝑑'4=32,∴d'=6.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)两个相似三角形的面积之比等于其周长之比的平方.()(2)相似三角形对应角的外角平分线与对边相交所得线段的比等于相似比.()(3)相似三角形外接圆的周长之比等于相似比的平方.()(4)相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比,内切圆的面积比等于相似比的平方.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一利用相似三角形的性质解决计算问题【例1】(1)如图,在▱ABCD中,点E在AB上,且EB=2AE,AC与DE交于点F,则△𝐶𝐷𝐹的周长△𝐴𝐸𝐹的周长=.(2)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,S△ADE∶S△ABC=4∶9,则AE∶EC=.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解析(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠DCF=∠FAE,∠CDF=∠FEA,∴△CDF∽△AEF,∴𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐹𝐸𝐹=𝐶𝐹𝐴𝐹.∵EB=2AE,∴AB=3AE=CD,∴𝐶𝐷𝐴𝐸=3,∴𝐷𝐹𝐸𝐹=𝐶𝐹𝐴𝐹=3,故△𝐶𝐷𝐹的周长△𝐴𝐸𝐹的周长=3.(2)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶2=49,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=23,∴𝐴𝐸𝐸𝐶=21=2.答案(1)3(2)2∶1XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.(1)若它们的周长和是120cm,则这两个三角形的周长分别为和;(2)若它们的面积差是420cm2,则这两个三角形的面积分别为和.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解析由于两个三角形相似,且一对对应边长分别是24cm和12cm,因此其相似比为2.(1)由于周长比等于相似比,若设其中一个三角形周长为xcm,则另一个三角形周长为2xcm,于是x+2x=120,解得x=40,故其中一个三角形的周长为80cm,另一个三角形的周长为40cm.(2)由于面积比等于相似比的平方,若设其中一个三角形面积为xcm2,则另一个三角形面积为4xcm2,于是4x-x=420,解得x=140,故其中一个三角形的面积为140cm2,另一个三角形的面积为560cm2.答案(1)80cm40cm(2)560cm2140cm2XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二利用相似三角形的性质解决证明问题【例2】如图所示,AD是△ABC的角平分线,BH⊥AD于点H,CK⊥AD于点K.求证:AB·DK=AC·DH.分析只需证明△BDH和△CDK相似,△ABH和△ACK相似即可.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明∵BH⊥AD,CK⊥AD,∴∠AHB=∠AKC=90°.又AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴△ABH∽△ACK,∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐻𝐶𝐾.在△BHD和△CKD中,∠DHB=∠DKC=90°,∠BDH=∠CDK,∴△BDH∽△CDK,∴𝐵𝐻𝐶𝐾=𝐷𝐻𝐷𝐾,∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐻𝐷𝐾.故AB·DK=AC·DH.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点E,BF∥CD交CA的延长线于点F.求证:EF·AD=EC·BC.证明∵AD∥BC,∴△ADE∽△CBE,∴𝐴𝐷𝐶𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐸.又BF∥CD,∴△DCE∽△BFE.∴𝐷𝐸𝐵𝐸=𝐶𝐸𝐹𝐸,∴𝐴𝐷𝐶𝐵=𝐶𝐸𝐹𝐸,故EF·AD=EC·BC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三利用相似三角形的性质解决综合问题【例3】如图所示,在▱ABCD中,E是CD延长线上一点,BE与AD交于点F,(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.DE=12CD.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析分析(1)利用相似三角形的判定定理证明;(2)要求平行四边形的面积,可以利用相似三角形的性质定理分别求出△ABF与四边形BCDF的面积.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.∵DE=12CD,∴𝑆△𝐷𝐸𝐹𝑆△𝐶𝐸𝐵=𝐷𝐸𝐸𝐶2=19,𝑆△𝐷𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐹=𝐷𝐸𝐴𝐵2=14.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图所示,在△ABC中,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.(1)证明∵CF平分∠ACB,DC=AC,∴CF是△ACD的边AD上的中线.∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点,∴EF∥BD,即EF∥BC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析(2)解由(1)知EF∥BD,∴△AEF∽△ABD,∴𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐵2.∵AE=12AB,S△AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6,∴𝑆△𝐴𝐵𝐷-6𝑆△𝐴𝐵𝐷=122,故S△ABD=8.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析对相似三角形的性质理解不透而致误典例如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=3,△AOD,△AOB,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,则S1∶S2,S1∶S3分别等于多少?错解∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴𝑂𝐷𝑂𝐵=𝐴𝐷𝐵𝐶=13.∴𝑆1𝑆2=𝑂𝐷𝑂𝐵2=132=19,𝑆1𝑆3=𝐴𝐷𝐵𝐶2=132=19,故S1∶S2=1∶9,S1∶S3=1∶9.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析正解∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴𝑂𝐷𝑂𝐵=𝐴𝐷𝐵𝐶=13,∴𝑆1𝑆3=132=19.∵△AOB和△AOD等高,∴𝑆1𝑆2=𝑂𝐷𝑂𝐵=13.故S1∶S2=1∶3,S1∶S3=1∶9.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图所示,D,E,F,G,H,I是△ABC三边的三等分点,△ABC的周长是l,则六边形DEFGHI的周长是.解析依题意,△ADE∽△ABC,所以DE=13BC.同理GF=13AB,HI=13AC,故六边形DEFGHI的周长=DE+EF+FG+GH+HI+ID=13BC+13AC+13AB+13BC+13AC+13AB=23(AB+BC+AC)=23l.答案23lXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AE∶EC=1∶2,且AD=4cm,则DB等于()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm解析因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以AE∶EC=AD∶DB,所以DB=2×4=8(cm).答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首