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-1-三相似三角形的判定及性质-2-1.相似三角形的判定XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解三角形相似的定义.2.掌握三角形相似的判定定理,能利用判定定理解决问题.3.掌握直角三角形相似的判定定理及其应用.相似三角形的判定三角形相似的定义判定定理直角三角形相似的判定XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.相似三角形(1)相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.(2)相似比:相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).(3)表示方法:两个三角形相似,用符号“∽”表示.例如:△ABC与△A'B'C'相似,记为△ABC∽△A'B'C'.3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1若△ABC∽△A1B1C1,则下列结论中正确的是()A.AB=A1B1B.∠ABC=∠A1B1C1答案BC.𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐴𝐶𝐴1𝐵1D.∠BCA=∠B1A1C13XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.相似三角形的判定(1)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图①②③所示,在△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE.3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12(2)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.(3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.(4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.(5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠的个数为()A.1B.2C.3D.4ACB;③𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶;④AC2=AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12解析序号判断原因分析①√∵∠B=∠ACD,又∠A=∠A,∴由判定定理1,知△ABC∽△ACD②√∵∠ADC=∠ACB,又∠A=∠A,∴由判定定理1,知△ABC∽△ACD③×∵ACCD=ABBC,∴ACAB=CDBC,由判定定理2知,不能单独判断△ABC∽△ACD④√∵AC2=AD·AB,∴ACAB=ADAC,又∠A=∠A,由判定定理2,知△ABC∽△ACD答案C3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1233.直角三角形相似的判定(1)定理1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.(2)定理2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.(3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做3在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A'=90°,𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∠B=35°,则∠C'=.解析∵∠A=∠A'=90°,∴△ABC和△A'B'C'均是直角三角形.又𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠C'=∠C.∵∠B=35°,∴∠C=90°-∠B=90°-35°=55°,∴∠C'=55°.答案55°XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)有两边对应成比例及一个角相等的两个三角形相似.()(2)有三边分别对应平行的两个三角形相似.()(3)有两边成比例的两个等腰三角形相似.()(4)有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似.()(5)如果两个直角三角形中有一个内角相等,那么它们一定相似.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一三角形相似的定义【例1】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠B的平分线,试证明:AD2=DC·AC.分析顶角是36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,所以∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC,且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC2=AB·CD.又AD=BC,AB=AC,∴AD2=CD·AC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,在平行四边形ABCD中,点E在DC上,若DE∶EC=1∶2,则BF∶BE=.解析∵DE∶EC=1∶2,∴DC∶EC=3∶2,∴AB∶EC=3∶2.∵AB∥EC,∴△ABF∽△CEF,答案3∶5∴𝐵𝐹𝐸𝐹=𝐴𝐵𝐸𝐶=32,∴𝐵𝐹𝐵𝐸=35.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二三角形相似的判定【例2】如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA,BF交AD于点P,交AC于点E.求证:△PCE∽△PFC.分析由于△PCE和△PFC有公共角,因此只需再证得另一组对应角相等即可.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明如图,在△ABC中,∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD垂直平分BC.∴PB=PC,∠1=∠2.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,即∠3=∠4.∵CF∥AB,∴∠3=∠F,∴∠4=∠F.又∠EPC=∠CPF,故△PCE∽△PFC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BM是AC边上的中线,AD⊥BM,垂足是点D.求证:△MCD∽△MBC.证明在Rt△ADM与Rt△BAM中,∵∠AMD=∠AMB,∴Rt△ADM∽Rt△BAM,∴𝐴𝑀𝐵𝑀=𝐷𝑀𝐴𝑀.又MC=AM,∴𝑀𝐶𝐵𝑀=𝐷𝑀𝑀𝐶.∵∠DMC=∠BMC,∴△MCD∽△MBC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三直角三角形相似的判定【例3】如图所示,直线EF分别交AB,AC于点F,E,交BC的延长线于点D,AC⊥BC于点C,且AB·CD=DE·AC.求证:AE·CE=DE·EF.分析先证△ACB∽△DCE,再证△AEF∽△DEC即可.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明∵AB·CD=DE·AC,∴𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐶𝐷.又AC⊥BC,∴∠ACB=∠DCE=90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A=∠D.∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF∽△DEC.∴𝐴𝐸𝐷𝐸=𝐸𝐹𝐶𝐸.∴AE·CE=DE·EF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,求证:△ADQ∽△QCP.证明在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴𝐴𝐷𝑄𝐶=2.∵BP=3PC,∴𝐵𝐶𝑃𝐶=4.又BC=2DQ,∴𝐷𝑄𝐶𝑃=2.在△ADQ和△QCP中,𝐴𝐷𝑄𝐶=𝐷𝑄𝐶𝑃=2,∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析对相似三角形的判定定理理解不准确致误典例如图所示,在△ABC和△A1B1C1中,∠1=∠2,∠3=∠4𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1=𝐴𝐷𝐴1𝐷1,求证:△ABC∽△A1B1C1.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析错解因为∠1=∠2,∠3=∠4,且𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1=𝐴𝐷𝐴1𝐷1,所以由相似三角形的判定定理可知△ABD∽△A1B1D1,△ACD∽△A1C1D1,从而△ABC∽△A1B1C1.正解如图所示,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,过点C1作C1E1∥A1B1,交A1D1的延长线于点E1,则∠E=∠1,∠E1=∠3.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析由CE∥BA,C1E1∥B1A1,得𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐵𝐴,𝐷1𝐸1𝐴1𝐷1=𝐶1𝐸1𝐵1𝐴1.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠E=∠2,∠E1=∠4,∴CE=AC,C1E1=A1C1,∴𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐵,𝐷1𝐸1𝐴1𝐷1=𝐴1𝐶1𝐴1𝐵1.∵𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1,∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴1𝐵1𝐴1𝐶1,∴𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐷1𝐸1𝐴1𝐷1,∴𝐷𝐸+𝐴𝐷𝐴𝐷=𝐷1𝐸1+𝐴1𝐷1𝐴1𝐷1,即𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴1𝐸1𝐴1𝐷1,∴𝐴𝐸𝐴1𝐸1=𝐴𝐷𝐴1𝐷1.∵𝐴𝐷𝐴1𝐷1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1,∴𝐴𝐸𝐴1𝐸1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1=𝐶𝐸𝐶1𝐸1,∴△AEC∽△A1E1C1,∴∠E=∠E1,∠2=∠4.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,即∠BAC=∠B1A1C1.∵𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1,∴