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-1-第一讲相似三角形的判定及有关性质-2-一平行线等分线段定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解平行线等分线段定理的本质.2.理解平行线等分线段定理的证明过程.3.掌握平行线等分线段定理的推论1、推论2及其应用.平行线等分线段定理平行线等分线段定理推论1推论2XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1231.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做1如图所示,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直线CD分别与a,b,c交于点C,E,D,若AE=EB,则()A.AE=CEB.BE=DEC.CE=DED.CEDE解析由平行线等分线段定理可直接得到答案.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1232.推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1233.推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123做一做2如图,已知AD∥EF∥BC,E是AB的中点,则DG=,H是的中点,F是的中点.解析由平行线等分线段定理、推论1和2以及AE=EB可得答案,故填BG,AC,CD.答案BGACCDXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)如果一组直线在两条直线上截得的线段相等,那么这组直线一定平行.()(2)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.()(3)三角形的三条中位线长度的和等于该三角形周长的一半.()(4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三探究一作已知线段的等分点【例1】已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明.分析根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取定的长度顺次截取6条相等线段,分别设为AA1,A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6,连接端点A6与点B,再过其他端点作BA6的平行线,分别交AB于C,D,E,F,G,则线段AB就被这些平行线分成六等份了.解(1)任作射线AM(与AB不在同一直线上);(2)在射线AM上顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6;XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三(3)连接A6B,分别过A1,A2,A3,A4,A5作A6B的平行线A1C,A2D,A3E,A4F,A5G,分别交AB于点C,D,E,F,G,则C,D,E,F,G就是所求作的线段AB的六等分点,如右上图所示.证明如下:因为A1C∥A2D∥A3E∥A4F∥A5G∥A6B,又AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6,由平行线等分线段定理可得AC=CD=DE=EF=FG=GB,即C,D,E,F,G就是线段AB的六等分点.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三变式训练1已知线段AB,在线段AB上求作一点P,使AP=13AB.解如图所示,作法步骤如下:(1)过点A任作射线AM(与AB不共线);(2)在AM上以任意长度顺次截取AE=EF=FG;(3)连接GB,过E,F分别作EP∥GB,FQ∥GB,分别交AB于点P,Q,则点P为所求的点.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三探究二证明线段相等【例2】如图所示,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点(BECE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.分析过点D作DG∥AE交BC于G,再用平行线等分线段定理证明.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三证明过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD,DG∥AE,所以BG=GE.又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC.在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF,所以DF=FC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三变式训练2如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB,求证:AE=EC=DE.证明因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线,所以D为BC的中点.因为DE∥AB,所以由平行线等分线段定理的推论1知,E为AC的中点,于是AE=EC,且DE=12AB.又因为AB=AC,所以DE=12AC=AE,故AE=EC=DE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三探究三求线段的长度【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,AD=6,求BE的长.分析由于OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得出E是BC的中点,所以BE=EC=12BC=12AD.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三解因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,BC=AD.又因为OE∥AB,所以BE=CE=12BC.又因为AD=6,故BE=12BC=12AD=3.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三变式训练3如图,已知AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点O,若AO=OD=DF,BE=10cm,则OB的长为()A.103cmB.5cmC.52cmD.3cm解析因为CD∥EF,OD=DF,所以C为OE的中点,因此OC=CE.因为AB∥CD,AO=OD,所以O为BC的中点,故BO=OC,因此OB=13BE=103cm.答案AXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.下列用平行线等分线段的图形中,错误的是()解析由平行线等分线段定理可知,C项错误.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10cm,E为AB的中点,点F在DC上,且EF∥AD,则EF的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.不确定解析由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线,答案A则EF=12(AD+BC)=12×10=5(cm).XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.如图所示,若a∥b∥c,那么下列结论中错误的是()A.由AB=BC可得FG=GHB.由AB=BC可得OB=OGC.由CE=2CD可得CA=2BC解析由于OB,OG不是一条直线被一组平行线截得的线段,故不一定有OB=OG,即B项错误.答案BD.由GH=12FH可得CD=DEXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123454.如图所示,已知a∥b∥c,直线m,n分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点A',B',C',如果AB=BC=1,A'B'=3,则B'C'=.解析由平行线等分线段定理可知A'B'=B'C'.又因为A'B'=3,所以B'C'=3.答案3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123455.如图,在平行四边形ABCD中,设E和F分别是边BC和AD的中点,BF和DE分别交AC于P,Q两点.求证:AP=PQ=QC.证明因为四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,AD边的中点,所以DF∥BE,且DF=BE,所以四边形BEDF是平行四边形.因为在△ADQ中,F是AD的中点,FP∥DQ,所以P是AQ的中点,所以AP=PQ.因为在△CPB中,E是BC的中点,EQ∥BP,所以Q是CP的中点,所以CQ=PQ,故AP=PQ=QC.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页