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-1-习题课三角恒等变换的应用首页课标阐释思维脉络1.能够运用三角函数公式对函数解析式进行化简,以研究函数的性质.2.能够运用三角函数公式解决求值与化简问题.3.掌握三角恒等变换在实际问题中的应用.课前篇自主预习一二一、降幂和升幂公式1.填空(1)降幂公式:sin2α=1-cos2𝛼2,cos2α=1+cos2𝛼2,sinαcosα=12sin2α.(2)升幂公式:1+cosα=2cos2𝛼2,1-cosα=2sin2𝛼2.课前篇自主预习一二2.做一做(1)函数y=sin2𝑥+π3cos2𝑥+π3的最小正周期为()A.2πB.πC.π2D.π4(2)函数f(x)=cos2𝑥+π4,x∈R,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数课前篇自主预习一二解析:(1)因为y=sin2𝑥+π3cos2𝑥+π3=12sin4𝑥+2π3,所以最小正周期为2π4=π2.(2)∵f(x)=1+cos2𝑥+π22=12−12sin2x,x∈R,∴f(-x)=12−12sin2(-x)=12+12sin2x.∴f-π4=12+12sinπ2=1,fπ4=12−12sinπ2=0,∴f-π4≠fπ4,f-π4≠-fπ4.∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.答案:(1)C(2)D课前篇自主预习一二二、辅助角公式1.填空asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ)其中sin𝜑=𝑏𝑎2+𝑏2,cos𝜑=𝑎𝑎2+𝑏2,tan𝜑=𝑏𝑎.课前篇自主预习一二2.做一做(1)若函数f(x)=sinx+3cosx,x∈R,则f(x)的值域是()A.[1,3]B.[1,2]C.[-10,10]D.[0,10](2)函数f(x)=sinx-3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是()A.-π,-5π6B.-5π6,-π6C.-π3,0D.-π6,0解析:(1)因为f(x)=sinx+3cosx=10sin(x+φ)(其中tanφ=3),所以函数f(x)=sinx+3cosx,x∈R,则f(x)的值域是[-10,10].(2)f(x)=212sin𝑥-32cos𝑥=2sin𝑥-π3,令2kπ-π2≤x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得2kπ-π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z.又x∈[-π,0],∴x∈-π6,0.答案:(1)C(2)D课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换研究函数的性质例1已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;分析:先用降幂公式将函数化为一次式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后再求周期和递增区间以及值域.3(2)求函数f(x)在区间-π6,π3上的值域.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练解:(1)因为f(x)=1-cos2𝑥2+3sin2x+3(1+cos2𝑥)2=2+3sin2x+cos2x=2sin2𝑥+π6+2,所以最小正周期T=2π2=π.因为-π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z时f(x)为单调递增函数,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为𝑘π-π3,𝑘π+π6,k∈Z.(2)因为f(x)=2+2sin2𝑥+π6,又-π6≤x≤π3,所以2x+π6∈-π6,5π6,因此sin2𝑥+π6∈-12,1,所以f(x)∈[1,4].故f(x)值域为[1,4].课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟研究三角函数的性质之前,往往需要先对函数解析式进行化简,化简的步骤通常有两步:首先是降幂,即利用降幂公式sin2x=1-cos2𝑥2,cos2x=1+cos2𝑥2将解析式化为一次式,然后再利用辅助角公式asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ)转化为只含有一个三角函数的形式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练变式训练1已知函数f(x)=2cos2𝑥+π24+cos2𝑥-5π12.(1)求函数的最小正周期以及对称轴方程;(2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练解:f(x)=2cos2𝑥+π24+cos2𝑥-5π12=cos2𝑥+π12+1+cos2𝑥-5π12=sin2𝑥+π12+cos2𝑥+π12+1=2sin2𝑥+π12+π4+1=2sin2𝑥+π3+1.(1)函数的最小正周期T=2π2=π.令2x+π3=kπ+π2,解得x=𝑘π2+π12,故对称轴方程为x=𝑘π2+π12(k∈Z).(2)y=f(-x)=2sin-2𝑥+π3+1=-2sin2𝑥-π3+1,令-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,解得-π12+kπ≤x≤512π+kπ,故函数的单调递减区间是-π12+𝑘π,5π12+𝑘π(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换解决求值与化简问题例2(1)求值:(tan10°-3)cos10°sin50°;(2)化简:(sin𝑥+cos𝑥-1)(sin𝑥-cos𝑥+1)2sin𝑥cos𝑥.解:(1)(tan10°-3)cos10°sin50°=sin10°cos10°-3cos10°sin50°=sin10°-3cos10°cos10°cos10°sin50°=212sin10°-32cos10°sin50°=2(sin10°cos60°-cos10°sin60°)sin50°=2sin(10°-60°)sin50°=-2sin50°sin50°=-2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练(2)(sin𝑥+cos𝑥-1)(sin𝑥-cos𝑥+1)2sin𝑥cos𝑥=2sin𝑥2cos𝑥2-2sin2𝑥22sin𝑥2cos𝑥2+2sin2𝑥22sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2cos𝑥2-sin𝑥2sin𝑥2+cos𝑥22sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2·cos2𝑥2-sin2𝑥22sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2·cos𝑥2sin𝑥cos𝑥=2sin2𝑥2sin𝑥=2sin2𝑥22sin𝑥2cos𝑥2=sin𝑥2cos𝑥2=tan𝑥2.反思感悟1.非特殊角的求值问题,关键是通过利用各种三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或者通过运用公式,使正负项抵消或分子分母约分,或通过整体代入达到求值的目的.2.三角函数式的化简,主要是通过公式的运用,进行弦切互化,异名化同名,异角化同角,升幂或降幂等,达到化简的目的.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练变式训练2已知sin2π3-𝑥=-33,则cos(-x)+cos𝑥+5π3=.解析:由sin2π3-𝑥=-33可得sin𝑥+π3=-33,于是cos(-x)+cos𝑥+5π3=cosx+cosxcos5π3-sinxsin5π3=32cosx+32sinx=3sin𝑥+π3=3·-33=-1.答案:-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换解决实际问题例3如图,某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD,现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草,其中P,Q分别为边BC,CD上的动点,∠PAQ=,其他区域安装健身器材,设∠BAP为θ弧度.(1)求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S(θ);(2)求面积S的最小值.𝜋4课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练分析:(1)通过锐角三角函数的定义及过点P作AQ的垂线且垂足为E,可知PE=22·1cos𝜃,进而利用面积公式计算即得结论;(2)利用辅助角公式化简可知S(θ)=12sin2𝜃+π4+1,进而利用三角函数的有界性即得结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练解:(1)因为∠BAP=θ,正方形边长为1(百米),所以AP=1cos𝜃,AQ=1cosπ4-𝜃.过点P作AQ的垂线,垂足为E,则PE=22·1cos𝜃.所以S(θ)=24·1cos𝜃·1cosπ4-𝜃=11+cos2𝜃+sin2𝜃,其中θ∈0,π4.(2)因为S(θ)=11+cos2𝜃+sin2𝜃,所以S(θ)=12sin2𝜃+π4+1,因此当sin2𝜃+π4=1时,即θ=π8时,取得最小值为2-1.故当θ=π8时,面积S的最小值为2-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟利用三角变换解决生活中的实际问题时,首先要认真分析,善于设参,找出关系,建立数学模型,将难以入手的实际问题化为较容易的数学问题,并且要注意参数的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练延伸探究本例中,条件不变,试证明:△PCQ的周长为2百米.解:设∠DAQ=φ,因为∠BAP=θ,所以θ+φ=π4.因为BP=tanθ,DQ=tanφ,所以PC=1-tanθ,QC=1-tanφ,在Rt△PCQ中,PQ=𝑃𝐶2+𝑄𝐶2=(1-tan𝜃)2+(1-tan𝜑)2=2+tan2𝜃+tan2𝜑-2(tan𝜃+tan𝜑),课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练因此△PCQ的周长l=1-tanθ+1-tanφ+2+tan2𝜃+tan2𝜑-2(tan𝜃+tan𝜑)=2-(tanθ+tanφ)+2+tan2𝜃+tan2𝜑-2(tan𝜃+tan𝜑).由于θ+φ=π4,所以tanθ+tanφ=tan(θ+φ)(1-tanθtanφ)=1-tanθtanφ,因此l=2-(tanθ+tanφ)+2+tan2𝜃+tan2𝜑-2(1-tan𝜃tan𝜑)=2-(tanθ+tanφ)+tan2𝜃+tan2𝜑+2tan𝜃tan𝜑=2-(tanθ+tanφ)+(tanθ+tanφ)=2.故△PCQ的周长为2百米.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【审题策略】先利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后确定其性质.典例已知函数f(x)=sinπ2-𝑥sinx-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在π6,2π3上的单调性.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练【规范展示】解:(1)f(x)=sinπ2-𝑥sinx-3cos2x=cosxsinx-32(1+cos2x)=12sin2x-32cos2x-32=sin2𝑥-π3−32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-32.(2)当x∈π6,2π3时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x≤5π12时,f(x)单调递增;当π22x-π3≤π,即5π12x≤2π3时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在π6,5π12上单调递增;在5π12,2π3上单调递减.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练【答题模板】第1步:利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式;↓第2步:求f(x)的最小正周期和最大值;↓失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式时出错;(2)将f(x)的最小正周期和最大值求错;(3)讨论f(x)的单调性时因忽视x的取值范围致错.第3步:讨论f(x)在π6,2π3上的单调性.课堂篇探究学习探究一探究二探究三规范解答随堂演练1.(多选题)已知函数f(x)=sin𝑥+π6cos𝑥+π6,则下列判断不正确的是()A.f(x)的最小正周期为π2B.f𝑥-π6是奇函数C.f(x)的一个对称中心为π6,0D.f(x)的一条对称轴为x=π