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-1-习题课函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用首页课标阐释思维脉络1.了解函数y=Asin(ωx+φ)中,参数A,ω,φ的物理意义.2.能够根据y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式.3.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质,能够利用性质解决相关问题.课前篇自主预习函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.对于正弦函数y=sinx,我们研究过其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调区间等,那么对于形如y=Asin(ωx+φ)的函数,例如:函数,其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心、单调区间如何求解呢?提示:以正弦函数的性质为基础,充分利用整体代换方法研究函数y=Asin(ωx+φ)的各种性质.y=3sin2𝑥-π4课前篇自主预习2.函数y=Asin(ωx+φ)(A0)的性质名称性质定义域R值域[-A,A]周期性最小正周期为2π|𝜔|奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数当φ=kπ+π2(k∈Z)时是偶函数单调性令2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z),解出x的范围即得单调递增区间令2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z),解出x的范围即得单调递减区间对称性对称轴方程由ωx+φ=kπ+𝜋2(k∈Z)求得,即x=𝑘π𝜔+π-2𝜑2𝜔(k∈Z)对称中心横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,即𝑘π-𝜑𝜔,0(k∈Z)课前篇自主预习3.做一做(1)函数f(x)=sin3𝑥-π3-4的值域为()A.[-1,1]B.[-4,4]C.[-5,5]D.[-5,-3](2)若函数f(x)=-2sin(4x+φ)(0φ2π)是一个奇函数,则φ的值等于()A.π2B.π8C.πD.π4(3)若函数y=13sin𝜔𝑥+π6(ω0)的最小正周期是4π,则其图象的一条对称轴为()A.x=-4π3B.x=-π3C.x=π2D.x=5π3课前篇自主预习解析:(1)因为-1≤sin3𝑥-π3≤1,所以-5≤sin3𝑥-π3-4≤-3,即函数值域为[-5,-3],选D.(2)依题意有φ=kπ,k∈Z,而0φ2π,所以φ=π,故选C.(3)依题意有2π𝜔=4π,所以ω=12,即y=13sin12𝑥+π6,而当x=-4π3时,函数取得最小值-13,故x=-4π3是其图象的一条对称轴.选A.答案:(1)D(2)C(3)A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练三角函数图象变换的应用例1将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C.0D.-π4解析:把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后,得到的图象的解析式是y=sin2𝑥+π4+𝜑,该函数是偶函数的条件是π4+φ=kπ+π2,k∈Z,根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性:(1)当φ=kπ(k∈Z)时,函数是奇函数;(2)当φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数是偶函数;(3)当φ≠kπ,且φ≠kπ+π2(k∈Z)时,函数是非奇非偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练延伸探究本例中,若将函数y=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位,得到的图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值等于.解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位,得到y=sin2𝑥-π3+𝜑的图象,该图象关于直线x=π4对称,则有2×π4−π3+φ=kπ+π2(k∈Z),则φ=kπ+π3(k∈Z),因此φ的最小正值等于π3.答案:π3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练图象的综合应用例2已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,fπ2=-23,则f(0)=.分析:本题提供的图象蕴含着丰富的信息,关键是如何利用这些信息.可以通过求函数解析式来解,也可以寻找解决问题的新途径,充分利用三角函数的性质来求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解析:(方法一)由图可知𝑇2=11π12−7π12=π3,T=2π3,∴ω=3,∴f(x)=Acos(3x+φ).又7π12,0是图象上的点,∴7π4+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-5π4,k∈Z,∵fπ2=-23,∴Acos3π2+kπ-5π4=-23,即Acoskπ+π4=-23,∴f(0)=Acoskπ-5π4=-Acoskπ-π4=-Acos2kπ-kπ+π4=-Acoskπ+π4=23.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练(方法二)由图可知𝑇2=11π12−7π12=π3,T=2π3,∴f(0)=f2π3,注意到π2+2π32=7π12,也即π2和2π3关于7π12对称,于是f(0)=f2π3=-fπ2=23.答案:23课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)+k的一般步骤第一步:定A,k,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A,k的值.第二步:定周期,借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期.第三步:定ω,根据周期公式确定参数ω的值.第四步:定φ,利用函数图象及五点作图法中的“五点”,建立关于φ的方程,求之即得φ的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练变式训练1已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则f7π12=.解析:函数的周期为T=235π4−π4=2π3,则图中相邻两个零点之间的距离为π3,又π4+π3=7π12,所以f7π12=0.答案:0课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)例3如图是函数y=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的图象的一部分,求此函数的解析式.分析可以根据图象逐一确定解析式中的参数值,从而得出解析式;也可根据图象经过的几个特殊点的坐标,代入解析式利用待定系数法求解;还可以根据图象变换求得解析式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解法一(逐一定参法)由图象知A=3,T=5π6−-π6=π,所以ω=2π𝑇=2.因此y=3sin(2x+φ).因为点-π6,0在函数图象上,所以0=3sin-π6×2+𝜑,即-π6×2+φ=kπ(k∈Z),得φ=π3+kπ(k∈Z).因为|φ|π2,所以φ=π3,故y=3sin2𝑥+π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解法二(待定系数法)由图象知A=3.因为图象过点π3,0和5π6,0,所以π𝜔3+𝜑=π,5π𝜔6+𝜑=2π,解得𝜔=2,𝜑=π3.故y=3sin2𝑥+π3.解法三(图象变换法)由A=3,T=π,点-π6,0在图象上,可知函数图象由y=3sin2x向左平移π6个单位长度而得,所以y=3sin2𝑥+π6,即y=3sin2𝑥+π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),求得φ的值.(2)待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asinωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.课堂篇探究学习变式训练2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin3x+π3B.f(x)=sin2x+π3C.f(x)=sinx+π3D.f(x)=sin2x+π6探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解析:由图象,得A=1,𝑇4=5π12−π6=π4,则T=π,∴ω=2π𝑇=2,当x=π6时,fπ6=sin2×π6+𝜑=1,∴φ=π6,∴f(x)=sin2x+π6.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用分析:(1)根据周期公式T=求解;(2)先根据x的取值范围求出2x-φ的范围,再结合正弦函数的单调性确定sin(2x-φ)的取值范围,从而得到f(x)的值域即可得到函数的最值.例4已知f(x)=2sin(2x-φ)-1(0φπ)的一个零点是π4,0.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈π24,11π24时,求函数的最大值以及最小值.2𝜋𝜔课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解:(1)依题意有fπ4=0,所以2sin2·π4-𝜑-1=0.因此cosφ=22.又因为0φπ,所以φ=π4.故f(x)=2sin2𝑥-π4-1,其最小正周期为T=2π2=π.(2)由x∈π24,11π24,得2x-π4∈-π6,2π3,则sin2𝑥-π4∈-12,1,所以-22-1≤2sin2𝑥-π4-1≤2-1,所以函数y=f(x)的最大值为2-1,最小值为-22-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的基本策略:(1)首先将所给函数的解析式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式;(2)熟记正弦函数y=sinx的图象与基本性质;(3)充分利用整体代换思想解决问题;(4)熟记有关函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练变式训练3函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中𝐴0,𝜔0,0𝜑π2的图象与x轴相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M2π3,-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.解:(1)因为相邻两个交点之间的距离为π2且图象上最低点为M2π3,-2,所以A=2,ω=2ππ=2.将点M代入y=2sin(2x+φ),且0φπ2,解得φ=π6,故y=2sin2𝑥+π6.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练(2)因为函数y=sinx(x∈R)的单调递增区间为-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π,k∈Z,所以-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为-π3+𝑘π,π6+𝑘π,k∈Z.(3)因为π12≤x≤π2,所以π3≤2x+π6≤7π6,即-1≤2sin2𝑥+π6≤2,因此-1≤y≤2,故函数f(x)的值域为[-1,2].课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练例5已知函数f(x)=2sin𝜔𝑥+𝜑-π6+1(0φπ,ω0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值;(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.分析:(1)由函数为偶函数确定φ-π6的值进而得到φ的值,再根据相邻对称轴间的距离得出周期,从而求得ω的值便可获得函数解析式,最后求得fπ8的值;(2)先根据图象变换规则求出g(x)的解析式,再求单调区间.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练解:(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-π6=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+2π3(k∈Z).又0φπ,所以φ=2π3,故f(x)=2sin𝜔𝑥+2π3-π6+1=2cosωx+1.因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距