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-1-5.6函数y=Asin(ωx+φ)首页课标阐释思维脉络1.理解匀速圆周运动数学模型的特点,并能用数学模型解决一些相关的实际问题.2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.3.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.4.掌握函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象之间的关系,能够将y=sinx的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.课前篇自主预习一二三一、匀速圆周运动数学模型1.填空(1)三角函数数学模型在模拟一些周期现象时应用十分广泛,但一般都能概括为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式.(2)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥着重要作用.课前篇自主预习一二三2.做一做如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为.解析:当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,则∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)课前篇自主预习一二三3.判断正误(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型.()(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决.()答案:(1)√(2)×课前篇自主预习一二三二、图象变换1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响提示:y=sin(x+φ)的图象可以由函数y=sinx的图象经过左右平移|φ|个单位得到.(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin𝑥+π3与y=sin𝑥-π4的图象,从表中所列变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(x+φ)的图象与y=sinx的图象之间有什么关系?课前篇自主预习一二三(2)填空如图,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平行移动|φ|个单位长度得到的.即y=sinx的图象y=sin(x+φ)的图象.课前篇自主预习一二三(3)做一做将函数y=sinx的图象向右平移π5个单位,可以得到函数()的图象.A.y=sin𝑥+π5B.y=sin𝑥-π5C.y=sinπ5-𝑥D.y=sin5𝑥-π5解析:将函数y=sinx的图象向右平移π5个单位,可以得到函数y=sin𝑥-π5的图象.答案:B课前篇自主预习一二三2.ω(ω0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin2x与y=sinx的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间有什么关系?提示:y=sin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(x+φ)的图象经过左右伸缩变换得到.13课前篇自主预习一二三(2)填空如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.即y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象.1𝜔课前篇自主预习一二三(3)做一做函数y=sin4x的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到()A.所有点的横坐标变为原来的4倍解析:因为ω=41,所以可由y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的得到y=sin4x的图象.答案:BB.所有点的横坐标变为原来的14C.所有点的纵坐标变为原来的4倍D.所有点的纵坐标变为原来的1414课前篇自主预习一二三3.A(A0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sinx与y=sinx的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin(ωx+φ)的图象之间有什么关系?提示:y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上下伸缩变换得到.12课前篇自主预习一二三(2)填空如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.(3)做一做把y=sin12𝑥-π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的12(横坐标不变)得到的图象对应的函数解析式是.答案:y=12sin12𝑥-π3课前篇自主预习一二三三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法1.作函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移?提示:作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.2.填空(1)五点法:①列表ωx+φ通常取0,π2,π,3π2,2π这五个值;②描点;③连线.课前篇自主预习一二三(2)变换法:由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的方法如下:①先平移后伸缩②先伸缩后平移课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练匀速圆周运动的数学模型例1一个大风车的半径为6m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间m(min)之间的函数关系式是()分析:由题意可设h(t)=Acosωt+B,根据周期性=12,由最大值与最小值分别为14,2,即可得出.A.h(t)=-6sinπ6t+6B.h(t)=-6cosπ6t+6C.h(t)=-6sinπ6t+8D.h(t)=-6cosπ6t+82𝜋𝜔课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:设h(t)=Acosωt+B,∵12min旋转一周,∴2π𝜔=12,∴ω=π6.由于最大值与最小值分别为14,2,∴-𝐴+𝐵=14,𝐴+𝐵=2,解得𝐴=-6,𝐵=8.∴h(t)=-6cosπ6t+8.答案:D反思感悟匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确,半径决定了振幅A,频率或周期能确定ω,初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.课堂篇探究学习变式训练1为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针指向位置P(x,y),若初始位置为P0√32,12,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A.y=sinπ30𝑡+π6B.y=sin-π60𝑡-π6C.y=sin-π30𝑡+π6D.y=sin-π30𝑡-π6探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练分析:由秒针是顺时针旋转,每60秒转一周,求出ω,由cosφ=√32,sinφ=12,求出φ,由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系.解析:∵秒针是顺时针旋转,∴角速度ω0.又由每60秒转一周,∴ω=-2π60=-π30(弧度/秒),由P0√32,12,得cosφ=√32,sinφ=12.解得φ=π6.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象例2作出函数y=32sin13𝑥-π3在长度为一个周期的闭区间上的图象.分析:令13x-π3分别取0,π2,π,3π2,2π,得到相应自变量x的各值,然后描点连线即可得到函数图象.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:列表:13x-𝜋30𝜋2π3𝜋22πxπ5𝜋24π11𝜋27πy=32sin13x-𝜋30320-320描点连线(如图所示).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.ωx+φ0𝜋2π3𝜋22πx-φω𝜋2ω−φω𝜋ω−φω3𝜋2ω−φω2𝜋ω−φωy0A0-A0课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2作出函数y=12cos12𝑥+π3在一个周期内的图象.解:列表:12x+𝜋30𝜋2π3𝜋22πx-2𝜋3𝜋34𝜋37𝜋310𝜋3y120-12012描点,连线得函数y=12cos12𝑥+π3在一个周期内的图象,如图:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换角度1图象的变换方式例3由函数y=sinx的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=-2sin2x-π6+1的图象.分析:本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(方法一)y=sinx的图象y=2sinx的图象y=-2sinx的图象y=-2sin2x的图象y=-2sin2x-π6的图象y=-2sin2x-π6+1的图象.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(方法二)y=sinx的图象y=sinx-π6的图象y=sin2x-π6的图象y=-sin2x-π6的图象y=-2sin2x-π6的图象y=-2sin2x-π6+1的图象.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2求函数的解析式例4把函数y=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sinx,则()分析:确定逆向变换过程→由伸缩变换确定ω→由平移变换确定φ→确定函数解析式A.ω=2,φ=π6B.ω=2,φ=-π3C.ω=12,φ=π6D.ω=12,φ=-π3𝜋6课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sin2x,再将此函数图象向右平移π6个单位长度可得y=sin2x-π6的图象,即y=sin2x-π3的图象,所以ω=2,φ=-π3.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.对函数y=Asin(ωx+φ)+k(A0,ω0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有:①振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A1时伸长,A1时缩短.②周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的,ω1时缩短,ω1时伸长.③相位变换(横向平移变换):是由φ引起的,φ0时左移,φ0时右移.④上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k0时上移,k0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.2.若相应变换的函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化一致,再利用相应的变换得到结论.3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A0,ω0,φ≠0,k≠0)的图象得到y=sinx的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3(1)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,-π2≤φπ2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则fπ6=.(2)若将函数f(x)=3sin(2x+φ)(0φπ)图象上的每一个点都向左平移π3个单位,得到y=g(x)的图象,若函数y=g(x)是奇函数,则函数y=g(x)的单调