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-1-5.5.2简单的三角恒等变换首页课标阐释思维脉络1.能用二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明.4.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.5.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.6.学会初步运用“辅助角”公式来化简三角函数式,进而研究函数图象和性质,并能明确辅助角公式的使用条件.课前篇自主预习一二三一、半角公式1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示的三角函数呢?提示:由倍角公式可得sin2𝛼2=1-cos𝛼2,cos2𝛼2=1+cos𝛼2,开方即可得到sin𝛼2,cos𝛼2用cosα来表示的表达式.𝛼2课前篇自主预习一二三2.填空(半角公式)(1)sin𝛼2=±1-cosα2符号由𝛼2角所在的象限决定;(2)cos𝛼2=±1+cosα2符号由𝛼2角所在的象限决定;(3)tan𝛼2=±1-cosα1+cosα=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼符号由𝛼2角所在的象限决定.课前篇自主预习一二三3.做一做已知cosα=15,且α为锐角,则sin𝛼2=,cos𝛼2=.解析:∵α∈0,π2,∴𝛼2∈0,π4,∴sin𝛼2=1-cos𝛼2=25=105,cos𝛼2=1+cos𝛼2=35=155.答案:105155课前篇自主预习一二三二、积化和差、和差化积公式1.(1)积化和差公式有何特点?提示:积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.(3)和差化积公式有何特点?提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为的形式.(2)积化和差公式右侧系数都为12吗?提示:否.如sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)].𝑥+𝑦2与𝑥-𝑦2课前篇自主预习一二三2.填空(1)cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)].(2)sinx+siny=2sin𝑥+𝑦2cos𝑥-𝑦2;sinx-siny=2cos𝑥+𝑦2sin𝑥-𝑦2;cosx+cosy=2cos𝑥+𝑦2cos𝑥-𝑦2;cosx-cosy=-2sin𝑥+𝑦2sin𝑥-𝑦2.课前篇自主预习一二三3.做一做计算:(1)sin52.5°cos7.5°=;(2)sinαsin3α=.4.判断正误(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ.()(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√答案:(1)3+24(2)12cos2α-12cos4α(3)sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosθ.()(4)sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ.()(5)sinxsiny=12[cos(x-y)-cos(x+y)].()课前篇自主预习一二三三、辅助角公式1.式子sin20°cos30°+cos20°sin30°可化简为什么形式?式子12sin20°-32cos20°能否化简为只含有一个三角函数的形式?式子sinx-cosx呢?提示:sin20°cos30°+cos20°sin30°=sin(20°+30°)=sin50°,12sin20°-32cos20°=sin20°cos60°-cos20°sin60°=sin(20°-60°)=-sin40°,sinx-cosx=2sin𝑥·22-cos𝑥·22=2sin𝑥-π4.课前篇自主预习一二三2.填空辅助角公式asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ),其中tanφ=𝑏𝑎,φ所在的象限由a,b的符号决定.3.做一做(1)2sinθ+2cosθ=()A.sin𝜃+π4B.22sin𝜃+3π4C.22sin𝜃+π4D.2sin𝜃+π4(2)函数f(x)=sinx+2cosx的最大值为()A.5B.5C.3D.1解析:(1)2sinθ+2cosθ=22sin𝜃·22+cosθ·22=22sin𝜃+π4.(2)f(x)=sinx+2cosx=12+22sin(x+φ)=5sin(x+φ),故其最大值为5.答案:(1)C(2)B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练半角公式的应用角度1用半角公式解决求值问题例1已知5π2θ3π,且sinθ=2425,求sin𝜃2,cos𝜃2,tan𝜃2,cos𝜃4的值.分析:先由sinθ的值求出cosθ的值,再套用半角公式求出sin𝜃2,cos𝜃2,tan𝜃2的值,再将𝜃4视为𝜃2的一半,继续利用半角公式求出cos𝜃4的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:因为5π2θ3π,且sinθ=2425,所以cosθ=-1-sin2𝜃=-725.于是5π4𝜃23π2,故sin𝜃2=-1-cos𝜃2=-1--7252=-45,cos𝜃2=-1+cos𝜃2=-1+-7252=-35,tan𝜃2=sin𝜃2cos𝜃2=43.又因为5π8𝜃43π4,所以cos𝜃4=-1+cos𝜃22=-1+-352=-55.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算.𝜃2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1已知sin𝛼2-cos𝛼2=-15,450°α540°,求tan𝛼2的值.解:由题意得sin𝛼2-cos𝛼22=15,即1-sinα=15,得sinα=45.因为450°α540°,所以cosα=-35,故tan𝛼2=1-cos𝛼sin𝛼=1--3545=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2用半角公式解决化简与证明问题例2化简:(1+sin𝛼+cos𝛼)sin𝛼2-cos𝛼22+2cos𝛼(180°α360°).分析:化α为𝛼2,消去数值1,再升幂判断𝛼2的范围,然后化简得结论.解:原式=2cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2sin𝛼2-cos𝛼22·2cos2𝛼2=2cos𝛼2cos𝛼2+sin𝛼2sin𝛼2-cos𝛼22cos𝛼2=cosα2(-cos𝛼)𝑐𝑜𝑠α2.∵180°α360°,∴90°𝛼2180°.∴cos𝛼20.∴原式=cos𝛼2(-cos𝛼)-cos𝛼2=cosα.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2求证:cos2𝛼1tan𝛼2-tan𝛼2=14sin2α.证明左边=cos2𝛼1sin𝛼1+cos𝛼-1-cos𝛼sin𝛼=cos2𝛼1+cos𝛼sin𝛼-1-cos𝛼sin𝛼=cos2𝛼2cos𝛼sin𝛼=12sinαcosα=14·2sinαcosα=14sin2α=右边,所以原等式成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练积化和差、和差化积公式的应用分析:先化简条件,再求值.例3已知sin𝜃+π6sin𝜃-π6=1120,求tanθ.解:∵sin𝜃+π6sin𝜃-π6=1120,∴-12cos𝜃+π6+𝜃-π6−cos𝜃+π6-𝜃+π6=1120.∴cos2θ=-35=1-tan2𝜃1+tan2𝜃.∴tanθ=±2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练例4求证:sinαsin(60°+α)sin(60°-α)=14sin3α.分析:根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.证明左边=sinα·-12(cos120°-cos2α)=14sinα+12sinαcos2α=14sinα+14[sin3α+sin(-α)]=14sinα+14sin3α-14sinα=14sin3α.反思感悟1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究例3若不利用积化和差公式,如何求解?解:∵sin𝜃+π6sin𝜃-π6=1120,∴sin𝜃cosπ6+cos𝜃sinπ6sin𝜃cosπ6−cos𝜃sinπ6=1120,∴34sin2θ-14cos2θ=1120.∴34×1-cos2𝜃2−14×1+cos2𝜃2=1120.即cos2θ=-35=1-tan2𝜃1+tan2𝜃.∴tanθ=±2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证:(2cos2A+1)2=a2+b2.证明由题意知(sinA+sin5A)+sin3A=2sin3A·cos2A+sin3A=a,(cosA+cos5A)+cos3A=2cos3Acos2A+cos3A=b,∴sin3A(2cos2A+1)=a,①cos3A(2cos2A+1)=b.②两式平方相加,得(2cos2A+1)2=a2+b2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练辅助角公式的应用例5将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式:分析:利用三角函数公式将函数解析式化为asinωx+bcosωx的形式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.(1)y=3sinx-3cosx;(2)y=cos2x(sin2x+cos2x);(3)y=sin𝑥2+π3+sin𝑥2.解:(1)y=3sinx-3cosx=23sin𝑥·32-cos𝑥·12=23sin𝑥·cosπ6-cos𝑥·sinπ6=23sin𝑥-π6.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)y=cos2x(sin2x+cos2x)=sin2xcos2x+cos22x=12sin4x+1+cos4𝑥2=12sin4x+12cos4x+12=22sin4𝑥·22+cos4𝑥·22+12=22sin4𝑥·cosπ4+cos4𝑥·sinπ4+12=22sin4𝑥+π4+12.(3)y=sin𝑥2+π3+sin𝑥2=sin𝑥2cosπ3+cos𝑥2sinπ3+sin𝑥2=32sin𝑥2+32cos𝑥2=3sin𝑥2·32+cos𝑥2·12=3sin𝑥2+π6.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟将三角函数y=f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的步骤(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为12sin2x,对sin2x,cos2x运用降幂公式,对sin(x±α),cos(x±α)运用两角和与差的公式展开.(2)将(1)中得到的式子利用asinα+bcosα=𝑎2+𝑏2·sin(α+φ)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思