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-1-5.4.3正切函数的性质与图象首页课标阐释思维脉络1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象.2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.课前篇自主预习一二一、正切函数的图象1.根据同角三角函数基本关系中的商数关系,你能否推断y=tanx是一个周期函数?提示:因为tanx=sin𝑥cos𝑥,所以tan(x+π)=sin(𝑥+π)cos(𝑥+π)=-sin𝑥-cos𝑥=tanx,所以y=tanx是一个周期函数.课前篇自主预习一二2.填空(1)正切函数的图象(如图):(2)正切函数的图象叫做正切曲线.(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线x=π2+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.课前篇自主预习一二3.判断正误(1)函数y=|tanx|与y=tanx的周期相等,都是π.()(2)函数y=tan|x|的最小正周期是.()答案:(1)√(2)×π2课前篇自主预习一二二、正切函数的性质1.观察正切曲线,思考:正切函数的值域是什么?正切函数是整个定义域上的增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?正切函数的图象关于某些直线对称吗?关于某些点对称吗?提示:正切函数的值域是R;正切函数在整个定义域上不是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数,正切函数的图象不可能关于某条直线对称;关于一些点是对称的.课前篇自主预习一二2.填空函数性质y=tanx定义域xx≠𝜋2+k𝜋,k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数单调性单调递增区间-π2+𝑘π,π2+𝑘π(k∈Z)单调递减区间无对称性对称中心𝑘π2,0,k∈Z对称轴无课前篇自主预习一二3.做一做(1)函数y=tan2𝑥+π3的定义域是;(2)函数y=tan𝑥-π4的单调递增区间是.解析:(1)由2x+π3≠kπ+π2,k∈Z,解得x≠𝑘π2+π12(k∈Z),所以函数定义域为𝑥𝑥≠𝑘π2+π12,𝑘∈Z.(2)由kπ-π2x-π4kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π4xkπ+3π4,k∈Z,所以函数的单调递增区间是𝑘π-π4,𝑘π+3π4(k∈Z).答案:(1)𝑥𝑥≠𝑘π2+π12,𝑘∈Z(2)𝑘π-π4,𝑘π+3π4(k∈Z)课前篇自主预习一二4.判断正误(1)函数y=tanx的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z).()(2)直线y=a与正切函数y=tanx图象相邻两个交点之间的距离为π.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×(3)函数y=2tanx,x∈0,π2的值域是[0,+∞).()(4)函数f(x)=11+tan𝑥的定义域是x𝑥≠𝑘π-π4,k∈Z.()课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正切函数的定义域与值域问题例1求下列函数的定义域和值域:分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解.(1)f(x)=tan12𝑥-π3;(2)f(x)=√3-tan𝑥.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)依题意得12x-π3≠kπ+π2,k∈Z,所以x≠2kπ+5π3,k∈Z.所以函数的定义域是𝑥𝑥≠2𝑘π+5π3,𝑘∈Z.由正切函数的值域可知该函数的值域是(-∞,+∞).(2)依题意√3-tanx≥0,所以tanx≤√3.结合y=tanx的图象可知,在-π2,π2上,满足tanx≤√3的角x应满足-π2x≤π3,所以函数y=√3-tan𝑥的定义域为𝑥𝑘π-π2𝑥≤𝑘π+π3,𝑘∈Z,其值域为[0,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点:求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tanxa的不等式的步骤:π2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1求函数y=1tan𝑥-1的定义域.解:依题意有tanx-1≠0,所以tanx≠1.所以x≠kπ+π4,k∈Z.又x≠kπ+π2,k∈Z,故函数定义域为𝑥𝑥≠𝑘π+π4,且𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈Z.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正切函数的图象及其应用角度1求单调区间例2求函数y=tan-3x+π4的单调区间.分析:先利用诱导公式将函数转化为y=-tan3x-π4,再由-π2+kπ3x-π4π2+kπ(k∈Z)解出x的取值范围.解:y=tan-3x+π4=-tan3x-π4.由-π2+kπ3x-π4π2+kπ(k∈Z),得-π12+𝑘π3xπ4+𝑘π3(k∈Z).所以函数y=tan-3x+π4的单调递减区间为-π12+𝑘π3,π4+𝑘π3(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟正切函数y=tanx在开区间-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)上是增函数,求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间,当ω0时,只需由-π2+kπωx+φπ2+kπ(k∈Z)解出x的取值范围,但若ω0,可先利用诱导公式将自变量x的系数化为正,还要注意A的正负对函数单调性的影响.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2比较大小例3不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:分析:利用周期性化角到某个单调区间内→利用函数的单调性比较大小(1)tan13π4与tan17π5;(2)tan-13π4与tan-16π5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为tan13π4=tanπ4,tan17π5=tan2π5,又0π42π5π2,y=tanx在0,π2内单调递增,所以tanπ4tan2π5,即tan13π4tan17π5.(2)因为tan-13π4=-tanπ4,tan-16π5=-tanπ5,又0π5π4π2,y=tanx在0,π2内单调递增,所以tanπ4tanπ5,所以-tanπ4-tanπ5,即tan-13π4tan-16π5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟正切函数的单调性在比较大小中的应用技巧利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小,实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在同一个单调区间内进行比较.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2(1)求函数y=-tan𝑥4-π6的单调递减区间;(2)比较tan-13π4与tan-12π5的大小.解:(1)∵y=-tan𝑥4-π6的单调减递区间满足kπ-π2𝑥4−π6kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π3𝑥4kπ+2π3(k∈Z).∴4kπ-4π3x4kπ+8π3(k∈Z).∴y=-tan𝑥4-π6的单调递减区间是4𝑘π-4π3,4𝑘π+8π3(k∈Z).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)tan-13π4=tan-13π4+4π=tan-13π4+16π4=tan3π4,tan-12π5=tan-12π5+3π=tan-12π5+15π5=tan3π5.∵y=tanx在π2,π内单调递增,且π23π53π4π,∴tan3π4tan3π5,即tan-13π4tan-12π5.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正切函数的周期性与奇偶性(2)已知函数f(x)=asinx+btanx+2018,若f(2019)=-1,求f(-2019)的值.例4(1)求函数f(x)=12tan3𝑥-π5的最小正周期;分析:(1)根据正切函数最小正周期求解;(2)根据函数y=asinx+btanx是奇函数求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为12tan3𝑥-π5=12tan3𝑥-π5+π,即12tan3𝑥+π3-π5=12tan3𝑥-π5.因此f𝑥+π3=f(x),故函数的最小正周期为T=π3.(2)令g(x)=asinx+btanx,则f(x)=g(x)+2018.因为g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asinx+btanx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.因为f(2019)=g(2019)+2018=-1,所以g(2019)=-2019,则g(-2019)=2019,故f(-2019)=g(-2019)+2018=2019+2018=4037.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性:(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.(2)函数y=tanx是奇函数,其图象关于原点对称.若函数y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ=(k∈Z).π|ω|𝑘𝜋2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3(1)函数f(x)=tan𝑥1+cos𝑥()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数(2)若函数y=3tan𝜔𝑥+π6的最小正周期是π2,则ω=.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:(1)要使f(x)有意义,必须满足𝑥≠𝑘π+π2(𝑘∈Z),1+cos𝑥≠0,即x≠kπ+π2,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan(-𝑥)1+cos(-𝑥)=-tan𝑥1+cos𝑥=-f(x),故f(x)=tan𝑥1+cos𝑥是奇函数.(2)依题意有T=π|𝜔|=π2,即π|𝜔|=π2,所以ω=±2.答案:(1)A(2)±2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练弄错正切函数图象的对称中心致误典例y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为π3,0,若-π2θπ2,则θ=.错解函数y=tanx的对称中心是(kπ,0),其中k∈Z,则令2x+θ=kπ,k∈Z,当x=π3时,解得θ=kπ-2π3,k∈Z,由-π2θπ2,得θ=π3.错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中,将正切函数y=tanx图象的对称中心𝑘π2,0(k∈Z)误以为(kπ,0)(k∈Z),从而导致θ的值求错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:函数y=tanx图象的对称中心是𝑘π2,0,其中k∈Z,则令2x+θ=𝑘π2,k∈Z,其中x=π3,即θ=𝑘π2−2π3,k∈Z.又-π2θπ2,所以当k=1时,θ=-π6.当k=2时,θ=π3,所以θ=-π6或π3.答案:-π6或π3防范措施正切函数y=tanx图象的对称中心是𝑘π2,0(k∈Z),而不是(kπ,0)(k∈Z),要熟记.在求参数的值时,务必注意参数的取值范围,要在所给定的范围内求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.f(x)=tan-2𝑥+π3的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π解析:T=π|-2|=π2.答案:B2.函数f(x)=sinxtanx()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数由f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sinx)·(-tanx)=sinxtanx=f(x),则f(x)是偶函数.故选B.答案:B解析:定义域为𝑥𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈Z,关于原点对称.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.函数y=3tan(π+x),-π4x≤π6的值域为.解析:函数y=3tan(π+x)=3tanx,因为正切函数在-π2,π2上是增函数,所以-3y≤√3,所以值域为(-3,√3].答案:(-3,√3]4.函数y=tan𝑥2+π3的单调递增区间是,最小正周期是.解析:由kπ-π2𝑥2+π3kπ+π2,k∈Z,得2kπ-5π3x2kπ+π3,k∈Z.最小正周期T=π12