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-1-第1课时周期性、奇偶性首页课标阐释思维脉络1.通过具体问题了解周期函数的概念,并能举出一些具有周期现象的实例.2.理解正弦函数与余弦函数的周期性,会求函数的周期.3.理解三角函数的奇偶性以及对称性,会判断给定函数的奇偶性.课前篇自主预习一二三一、周期函数1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sinx,则sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可以怎样表示?提示:sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).2.填空周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?提示:周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2π.课前篇自主预习一二三4.填空最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.5.做一做(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为的周期函数.(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)f(x)(填“=”或“≠”).解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).答案:(1)3(2)=课前篇自主预习一二三二、正弦函数与余弦函数的周期性1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2π.2.填空(1)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.(2)余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.3.对于函数f(x)=sin2𝑥+π3,如何求出其周期呢?提示:由诱导公式得sin2𝑥+π3+2𝑘π=sin2𝑥+π3,即f(x+kπ)=f(x),k∈Z,由此可得周期.课前篇自主预习一二三4.填空函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小正周期T=.(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小正周期T=.2𝜋𝜔2𝜋𝜔课前篇自主预习一二三5.做一做(1)函数y=sin𝑥-π5的最小正周期为;(2)函数y=cos12𝑥+π3的最小正周期为.解析:(1)因为ω=1,所以函数的最小正周期为2π1=2π.(2)因为ω=12,所以函数的最小正周期为2π12=4π.答案:(1)2π(2)4π课前篇自主预习一二三三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性1.根据诱导公式有sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?提示:奇偶性.2.填空(1)正弦函数y=sinx是奇函数,其图象关于原点对称;(2)余弦函数y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)函数y=sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)函数y=1+cosx的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称π2课前篇自主预习一二三解析:(1)令y=f(x)=sin2x,则f(-x)=sin2(-x)=-sin2x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)设y=f(x)=1+cosx.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=1+cosx为偶函数,故其图象关于y轴对称.答案:(1)A(2)B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练求三角函数的周期例1求下列三角函数的周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.分析:对于(1)(2)(3),可用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.(3)y=sin13𝑥-π4,x∈R;课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)3sin(x+2π)=3sinx,由周期函数的定义知,y=3sinx的周期为2π.(2)cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为π.(3)sin13(𝑥+6π)-π4=sin13𝑥+2π-π4=sin13𝑥-π4,由周期函数的定义知,y=sin13𝑥-π4的周期为6π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=|cosx|的周期为π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.2π|ω|课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1求下列函数的最小正周期:(2)y=cos|x|.(2)因为函数y=cosx为偶函数,所以y=cos|x|=cosx,从而函数y=cos|x|与y=cosx的图象一样,因此最小正周期相同,为2π.(1)y=sin-4π𝑥+π6;解:(1)由T=2π|-4π|=12,可得函数的最小正周期为12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练三角函数奇偶性及其应用例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;分析:求定义域→判断定义域是否关于原点对称→看f(-x)与f(x)的关系→确定奇偶性(2)f(x)=sin3𝑥4+3π2;(3)f(x)=1+sin𝑥-cos2𝑥1+sin𝑥.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)函数f(x)=|sinx|+cosx的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),∴函数f(x)是偶函数.(2)f(x)=sin3𝑥4+3π2=-cos3𝑥4,x∈R.∵f(-x)=-cos-3𝑥4=-cos3𝑥4=f(x),∴函数f(x)=sin3𝑥4+3π2是偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0,则函数f(x)=1+sin𝑥-cos2𝑥1+sin𝑥的定义域为𝑥∈R𝑥≠2𝑘π+3π2,𝑘∈Z.显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)=1+sin𝑥-cos2𝑥1+sin𝑥为非奇非偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶函数的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.或𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)=±1,且𝑓(𝑥)不为0课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cosx).解:(1)函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=x·cos(π+x)=-x·cosx,∴f(-x)=-(-x)·cos(-x)=x·cosx=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x).∴f(x)为偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数奇偶性、周期性的综合问题(2)若奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),且f(3)=0,求f(2019)的值.例3(1)若函数f(x)是以π2为周期的偶函数,且当x∈0,π2时,f(x)=33sinx,求f-17π6的值.分析:(1)根据函数是偶函数以及周期函数将f-17π6转化为0,π2上的函数值进行计算;(2)根据条件先推出函数的周期,再结合奇偶性对函数值进行转化求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为f(x)的周期为π2,且为偶函数,所以f-17π6=f17π6=fπ2×6-π6=f-π6=fπ6=33sinπ6=36.(2)因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故函数是周期为6的周期函数.又因为函数是奇函数,所以f(2019)=f(6×337-3)=f(-3)=-f(3)=0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.2.推得函数周期的若干形式:(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;(3)若f(x+t)=1𝑓(𝑥),则函数周期为2t;(4)若f(x+t)=-1𝑓(𝑥),则函数周期为2t.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究将本例(2)条件改为:若f(x)是奇函数,且f(x+1)=-1𝑓(𝑥),当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,则f92的值等于.解析:因为f(x+1)=-1𝑓(𝑥),所以f(x+2)=-1𝑓(𝑥+1)=-1-1𝑓(𝑥)=f(x),即f(x+2)=f(x),则T=2.故f92=f92-4=f12.又因为f(x)为奇函数,且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,所以f12=-f-12=-2×-12+1=0,故f92=0.答案:0课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对周期函数的概念理解不清致误典例下列说法中,正确的有.(填序号)错解①②③④本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期公式对各个命题加以判断.①函数f(x)=sin2𝑥+π3,x∈[-π,π]是周期函数;②函数f(x)=sin|x|,x∈R是周期函数;③函数y=sin𝑥+π2的最小正周期为π;④若函数y=2sin𝜔𝑥+π6的最小正周期为4π,则ω=12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:对于①,由于函数定义域为[-π,π],故函数不是周期函数,该命题错误;对于②,画出函数y=sin|x|的图象,由图象可知,函数不是周期函数,该命题错误;对于③,y=sin𝑥+π2=|cosx|,由图象可知函数周期为π,该命题正确;对于④,依题意应有2π|𝜔|=4π,故ω=±12,该命题错误.答案:③防范措施研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析:因为x∈R,且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.答案:A2.函数f(x)=cosπ6-3𝑥的最小正周期为