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-1-5.4.1正弦函数、余弦函数的图象首页课标阐释思维脉络1.能根据正弦函数的定义,利用单位圆正弦线作正弦函数的图象.2.掌握用“五点法”作正弦函数与余弦函数的图象.3.能从简单的图象变换的角度理解正弦函数图象与余弦函数图象的内在联系.课前篇自主预习一二一、正弦函数的图象1.(1)如图单位圆所示,角α的终边与单位圆交点B(x0,y0),你能用点A坐标表示sinα和cosα吗?提示:由三角函数的定义可知sinα=y0,cosα=x0.课前篇自主预习一二(2)在(1)中,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,如果规定BM方向与y轴正向同向为正,与y轴负向同向为负,这样就可以用BM的大小(含正负)来表示正弦值.请问角α在0,π2内按逆时针旋转时sinα的大小变化规律如何?角α在π2,π时呢?提示:当sinα在α∈0,π2时,随α的增大,sinα值越大,为增函数;当sinα在α∈π2,π时,随α的增大,sinα的值越小,为减函数.其中BM能代表sinα的值,BM又叫做正弦线.课前篇自主预习一二(3)对于任意一个实数x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否将sinx,cosx看作是关于变量x的函数?提示:唯一,能.(4)正、余弦函数的解析式及其定义域(5)作函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法作正弦函数y=sinx在[0,2π]内的图象,可取哪些点?提示:作函数图象最基本的方法是描点法;用描点法作正弦函数y=sinx在[0,2π]内的图象,可取当时的各点.函数解析式定义域正弦函数y=sinxR余弦函数y=cosxRx=0,π6,π4,π3,π2,…课前篇自主预习一二2.填空利用正弦线作正弦函数的图象利用正弦线作正弦函数图象的步骤:(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移得点;(4)连线.3.如何得到x∈[2π,4π],[-2π,0],…时y=sinx的图象?提示:根据诱导公式一,可将函数y=sinx在[0,2π]内的图象通过向左、向右平移得到.4.填空正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线.5.在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?提示:一个最高点、一个最低点、三个图象与x轴的交点.课前篇自主预习一二6.填空“五点作图法”作正弦曲线(2)将所得图象向左、向右平移(每次2π个单位长度).7.做一做在“五点法”中,正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于()答案:B(1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0),用光滑的曲线连接.课前篇自主预习一二二、余弦函数的图象1.一般地,函数y=f(x+a)(a0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的?设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象,则先要将余弦函数y=cosx转化为正弦形式的函数,你可以根据哪个公式完成这个转化?由诱导公式可知,y=cosx与y=sin𝑥+π2是同一个函数,如何作函数y=sin𝑥+π2在[0,2π]上的图象?提示:向左平移a个单位长度;诱导公式六:sinπ2+α=cosα;将y=sinx的图象向左平移π2个单位长度.课前篇自主预习一二2.填空(1)要得到y=cosx的图象,只需把y=sinx的图象向左平移单位长度即可.(2)余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫余弦曲线.3.函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中起关键作用的点有哪几个?4.填空“五点作图法”作余弦曲线(2)将所得图象向左、向右平移(每次2π个单位长度).π2提示:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).(1)画出余弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1),用光滑的曲线连接.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的图象:(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];分析:(1)先在[0,2π]上找出5个关键点,再用光滑曲线连接;(2)先用“五点法”作出函数在[0,2π]上的图象,再通过对称或平移得到[-2π,0]上的图象.(2)y=1-13cosx,x∈[-2π,2π].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)列表:描点、连线,如图.x0𝜋2π3𝜋22πsinx010-10sinx-1-10-1-2-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)列表:x0𝜋2π3𝜋22πcosx10-1011-13cosx23143123描点、连线,得到函数y=1-13cosx在[0,2π]上的图象,再将该图象向左平移2π个单位即可得到函数在[-2π,2π]上的图象,如图.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)(或y=Acosx+b(A≠0))在[0,2π]上的简图的步骤:(1)列表:(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.x0𝜋2π3𝜋22πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)yy1y2y3y4y5(0,y1),π2,𝑦2,(π,y3),3π2,𝑦4,(2π,y5).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1画出函数y=3+2cosx,x∈[0,2π]的简图.解:列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,得函数y=3+2cosx,x∈[0,2π]的图象,如图所示.x0𝜋2π3𝜋22πcosx10-1013+2cosx53135课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用“图象变换法”作三角函数的图象例2利用图象变换法作出下列函数的图象:(1)y=1-cosx,x∈[0,2π];分析:(1)先作函数y=cosx的图象,再得到y=-cosx的图象,最后得到y=1-cosx的图象;(2)先将解析式化简为y=|sinx|,再画出函数y=sinx的图象,最后得到y=|sinx|的图象.(2)y=cos𝑥+3π2,x∈[0,4π].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)先用“五点法”作出函数y=cosx的图象,再将该图象关于x轴对称,得到y=-cosx的图象,最后将该图象向上平移1个单位,即得y=1-cosx的图象(如图①).(2),先用“五点法”作出函数y=sinx在[0,4π]上的图象,再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象关于x轴对称翻折到上方,即得y=|sinx|的图象(如图②).①②y=cos𝑥+3π2=|sinx|课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟图象变换的规律1.平移变换(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位得到的;(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位得到的.2.对称变换(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究在本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?再将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象,即得x∈[-2π,0]的部分.如图所示即为所求图象.解:y=sin|x|=-sin𝑥,-2π≤𝑥0,sin𝑥,0≤𝑥≤2π为偶函数,首先用五点法作出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练正、余弦曲线的简单应用分析:构造三角不等式→画函数图象→求函数定义域例3求函数f(x)=2sin𝑥-1的定义域.解:由2sinx-1≥0得sinx≥12,画出y=sinx的图象.可知sinx≥12的解集为𝑥π6+2𝑘π≤𝑥≤5π6+2𝑘π,𝑘∈Z,即为定义域.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.用三角函数的图象解sinxa(或cosxa)的方法(1)作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象.(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值.(3)确定sinxa(或cosxa)的解集.2.利用三角函数线解sinxa(或cosxa)的方法(1)找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2求关于x的不等式12sinx≤32的解集.解:作出y=sinx在[0,2π]上的图象.如图所示,作直线y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sinx,x∈[0,2π]图象的交点横坐标为π6和5π6;作直线y=32,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]图象的交点横坐标为π3和2π3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练观察图象可知,在[0,2π]上,当π6x≤π3或2π3≤x5π6时,不等式12sinx≤32成立.所以不等式12sinx≤32的解集为𝑥π6+2𝑘π𝑥≤π3+2𝑘π或2π3+2𝑘π≤𝑥5π6+2𝑘π,𝑘∈Z.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用数形结合思想解决解的个数问题典例方程lgx=sinx的解的个数为()A.0B.1C.2D.3审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sinx和y=lgx是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lgx与y=sinx的图象,如图所示,当x=5π2时,y=lg5π21,y=sin5π2=1;当x=9π2时,y=lg9π21,y=lgx与y=sinx无交点.如图所示,由图知有三个交点,故方程有三个解.答案:D方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练(1)方程2x=cosx的解的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多个(2)在(0,2π)内,使sinxcosx成立的x的取值范围是()A.π4,π2∪π,5π4B.π4,πC.π4,5π4D.π4,π∪5π4,3π2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解析:(1)画出y=2x和y=cosx的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.(2)在同一坐标系中画出y=sinx,x∈(0,2π),y=cosx,x∈(0,2π)的图象,如图.由图知,答案:(1)D(2)Cx∈π4,5π4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练1.用“五点法”作函数y=2-3sinx的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是()答案:B2.函数y=cos(x+3π)的图象与余弦函数图象()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x轴对称D.关于原点和坐标轴对称解析:因为y=cos(x+3π)=-cosx,所以其图象与余弦函数y=cosx的图象关于原点和x轴都对称.答案:CA.(0,2)B.π2,1C.(π,2)D.3π2,5解析:当x=π2时,y=2