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-1-第2课时诱导公式五、六首页课标阐释思维脉络1.理解并熟记诱导公式五和六.2.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题.课前篇自主预习一二一、诱导公式五、六1.观察单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π2-α,角α与π2+α的终边有什么关系?(2)角α与角π2-α的终边与单位圆的交点P,P1的坐标有什么关系?角α与角π2+α的终边与单位圆的交点P,P2的坐标有什么关系?提示:(1)角α与角π2-α的终边关于直线y=x对称,角α的终边关于直线y=x的对称直线与角π2+α的终边关于y轴对称.(2)角α与角π2-α的终边与单位圆的交点P,P1关于直线y=x对称;角π2+α的终边与单位圆的交点P2的横坐标等于角α与单位圆的交点P的纵坐标的相反数;角π2+α的终边与单位圆的交点P2的纵坐标等于角α与单位圆的交点P的横坐标.课前篇自主预习一二2.填空课前篇自主预习一二3.做一做(1)若cos(π+α)=16,则sin5π2-𝛼=;(2)若sin9π2+𝜃=13,则cos(2π-θ)=.解析:(1)因为cos(π+α)=16,所以-cosα=16,即cosα=-16.于是sin5π2-𝛼=sinπ2-𝛼=cosα=-16.(2)因为sin9π2+𝜃=13,所以sinπ2+𝜃=13,因此cosθ=13,于是cos(2π-θ)=cos(-θ)=cosθ=13.答案:(1)-16(2)13课前篇自主预习一二二、诱导公式总结1.我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?提示:公式一、二、三、四中函数名称没有改变,公式五、六中函数名称改变了.2.填空诱导公式一~六可以概括为:α+k·(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.π2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用诱导公式化简或求值例1计算:(1)sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°);(2)1+cos100°sin170°cos370°+1-sin2170°;(3)sin(𝛼+𝑛π)+sin(𝛼-𝑛π)sin(𝛼+𝑛π)cos(𝛼-𝑛π)(n∈Z).解:(1)原式=sin260°-cos0°+tan45°-cos230°+sin30°=34-1+1-34+12=12.(2)原式=1+cos(180°-80°)sin(90°+80°)cos(360°+10°)+1-sin2(180°-10°)=1+(-cos80°)cos80°cos10°+1-sin210°=1-cos280°2cos10°=sin80°2cos10°=cos10°2cos10°=12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(3)方法一当n=2k,k∈Z时,原式=sin(𝛼+2𝑘π)+sin(𝛼-2𝑘π)sin(𝛼+2𝑘π)cos(𝛼-2𝑘π)=2cos𝛼.当n=2k+1,k∈Z时,原式=sin[𝛼+(2𝑘+1)π]+sin[𝛼-(2𝑘+1)π]sin[𝛼+(2𝑘+1)π]cos[𝛼-(2𝑘+1)π]=-2cos𝛼.所以原式=2cos𝛼(𝑛为偶数),-2cos𝛼(𝑛为奇数).方法二原式=(-1)𝑛sin𝛼+(-1)𝑛sin𝛼(-1)𝑛sin𝛼·(-1)𝑛cos𝛼=2(-1)𝑛cos𝛼.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知cos𝛼-π4=45,则sin𝛼+π4=.解析:sin𝛼+π4=sinπ2+𝛼-π4=cos𝛼-π4=45.答案:45课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用诱导公式证明三角恒等式例2求证:分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.2sin𝜃-32πcos𝜃+π2-11-2cos2𝜃+3π2=tan(9π+𝜃)+1tan(π+𝜃)-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练证明∵左边=-2sin3π2-𝜃(-sin𝜃)-11-2sin2𝜃=-2sinπ+π2-𝜃(-sin𝜃)-11-2sin2𝜃=2sinπ2-𝜃(-sin𝜃)-11-2sin2𝜃=-2sin𝜃cos𝜃-1sin2𝜃+cos2𝜃-2sin2𝜃=(sin𝜃+cos𝜃)2sin2𝜃-cos2𝜃=sin𝜃+cos𝜃sin𝜃-cos𝜃,右边=tan𝜃+1tan𝜃-1=sin𝜃cos𝜃+1sin𝜃cos𝜃-1=sin𝜃+cos𝜃sin𝜃-cos𝜃,∴左边=右边.故原等式成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2求证:cos(π-𝜃)cos𝜃sin3π2-𝜃-1+cos(2π-𝜃)cos(π+𝜃)sinπ2+𝜃-sin3π2+𝜃=2sin2𝜃.证明左边=-cos𝜃cos𝜃(-cos𝜃-1)+cos𝜃-cos𝜃cos𝜃+cos𝜃=11+cos𝜃+11-cos𝜃=1-cos𝜃+1+cos𝜃(1+cos𝜃)(1-cos𝜃)=21-cos2𝜃=2sin2𝜃=右边.故原等式成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练诱导公式的综合应用例3已知sin(π-α)-cos(π+α)=23π2απ,求下列各式的值:(1)sinα-cosα;(2)sin3π2-α+cos3π2+α.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:由sin(π-α)-cos(π+α)=23,得sinα+cosα=23①,将①两边同时平方,得1+2sinα·cosα=29,故2sinα·cosα=-79.∵π2απ,∴sinα0,cosα0.(1)∵(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=1--79=169,∴sinα-cosα=43.(2)sin3π2-α+cos3π2+α=cos3α-sin3α=(cosα-sinα)(cos2α+cosα·sinα+sin2α)=-43×1-718=-2227.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.常见的互补关系有:π3+α与2π3-α;π4+α与3π4-α等.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练3已知cos5π12+α=13,且-πα-π2,则cosπ12-α等于()A.223B.13C.-13D.-223解析:因为512π+α+π12-α=π2,所以cosπ12-α=sinπ2-π12-α=sin5π12+α.因为-πα-π2,所以-7π12α+5π12-π12.又cos5π12+α=130,所以-π2α+5π12-π12,所以sin5π12+α=-1-cos2(5π12+𝛼)=-1-(13)2=-223.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练诱导公式在三角形中的应用分析:首先利用诱导公式化简已知的两个等式,然后结合sin2A+cos2A=1,求出cosA的值,再利用A+B+C=π进行求解.典例在△ABC中,若sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:由已知得sin𝐴=2sin𝐵①,3cos𝐴=2cos𝐵②,由①2+②2,得2cos2A=1,∴cosA=±22.当cosA=22时,cosB=32.又A,B是三角形的内角,∴A=π4,B=π6.∴C=π-(A+B)=712π.当cosA=-22时,cosB=-32.又A,B是三角形的内角,∴A=34π,B=56π,A+Bπ,不符合题意.综上可知,A=π4,B=π6,C=712π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟在△ABC中,常用到以下结论:sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,sin𝐴2+𝐵2=sinπ2−𝐶2=cos𝐶2,cos𝐴2+𝐵2=cosπ2−𝐶2=sin𝐶2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练在△ABC中,已知sin𝐴+𝐵-𝐶2=sin𝐴-𝐵+𝐶2,试判断△ABC的形状.解:∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin𝐴+𝐵-𝐶2=sin𝐴-𝐵+𝐶2,∴sinπ-2𝐶2=sinπ-2𝐵2,∴sinπ2-C=sinπ2-B,∴cosC=cosB,又B,C为△ABC的内角,∴C=B,故△ABC为等腰三角形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练1.若sinπ2+𝜃0,且cosπ2-𝜃0,则θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案:B解析:因为sinπ2+𝜃=cosθ0,cosπ2-𝜃=sinθ0,所以角θ的终边落在第二象限.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练2.若sinπ4-𝛼=34,则cosπ4+𝛼=()A.34B.-34C.74D.-74解析:cosπ4+𝛼=cosπ2-π4-𝛼=sinπ4-𝛼=34.答案:A3.已知sin10°=k,则cos620°=()A.kB.-kC.±kD.不能确定解析:cos620°=cos(360°+260°)=cos260°=-cos80°=-sin10°=-k.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练4.化简:sin(-α-7π)·cos𝛼-3π2=.解析:原式=-sin(7π+α)·cos3π2-𝛼=-sin(π+α)·-cosπ2-𝛼=sinα·(-sinα)=-sin2α.答案:-sin2α5.求证:1tan2(-𝛼)+1sinπ2-𝛼·cos𝛼-3π2·tan(π+𝛼)=-1.证明因为tan(-α)=-tanα,sinπ2-𝛼=cosα,cos𝛼-3π2=cos3π2-𝛼=-sinα,tan(π+α)=tanα,所以左边=1tan2𝛼+1cos𝛼·(-sin𝛼)·tan𝛼=1sin2𝛼cos2𝛼+1-sin2𝛼=cos2𝛼-1sin2𝛼=-sin2𝛼sin2𝛼=-1=右边.故等式成立.课堂篇探究学习