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-1-5.1.2弧度制首页课标阐释思维脉络1.理解1弧度角的定义,了解弧度制的概念.2.能进行角度与弧度之间的换算.能熟记一些特殊角的弧度数.3.掌握弧度制下弧长与面积公式,能应用公式解决问题.4.会利用弧度解决简单的实际问题,初步体会弧度的应用价值.课前篇自主预习一二三一、弧度制1.(1)在平面几何中,1°的角是怎样定义的?提示:将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.(2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢?提示:有不同的单位制,即弧度制.课前篇自主预习一二三2.填空弧度制的定义3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,则∠AOB的大小为多少弧度?提示:-2弧度.角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制课前篇自主预习一二三4.填空弧度数的计算5.做一做已知半径为12cm,弧长为8πcm的弧,其所对的圆心角为α,则α的弧度数的绝对值是.角弧度数正角正数负角负数零角0计算公式|α|=lr(其中l为α所对的弧长,r为圆的半径)解析:|α|=𝑙𝑟=8π12=2π3.答案:2π3课前篇自主预习一二三二、角度与弧度的换算1.由360°=2πrad,180°=πrad,你能进行角的角度数与弧度数的转换吗?即1°的角等于多少弧度?1rad的角等于多少度?提示:1°=π180rad≈0.01745rad;1rad=180π°≈57.30°.课前篇自主预习一二三2.角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0𝜋180𝜋6𝜋4𝜋3𝜋22𝜋33𝜋45𝜋6π3𝜋22π课前篇自主预习一二三3.做一做下列换算结果错误的是()A.60°化成弧度是π3B.-103π化成度是-600°C.-150°化成弧度是-76πD.π12化成度是15°解析:-150°化成弧度是-56π,故C项错误.答案:C课前篇自主预习一二三三、弧度制下扇形的弧长与面积公式1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推导吗?提示:弧长公式:由公式|α|=𝑙𝑅及0α2π可得l=α·R;扇形面积公式:S=12lR,因为α=𝑛π180,l=𝑛π𝑅180,其中n表示圆心角的度数,所以S=𝑛π𝑅2360=12·𝑛π180·R2=12𝛼R2.课前篇自主预习一二三2.填空扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则α为度数α为弧度数扇形的弧长l=α𝜋R180°l=αR扇形的面积S=α𝜋R2360°S=12lR=12𝛼R2课前篇自主预习一二三3.做一做已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于,面积等于,周长等于.答案:5π75π60+5π.𝜋6解析:弧长l=rα=30×π6=5π,面积S=12lr=12×5π×30=75π,周长为2r+l=60+5π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧度制的概念例1(多选题)下列说法中正确的是()A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.答案:ABCB.1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12π课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°=rad,不必写成45°≈0.785rad.𝜋4课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1下列说法正确的是()A.1弧度是长度等于半径的弧B.1弧度是1°的圆心角所对的弧C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角D.1弧度等于1°解析:1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由上可知,只有C正确.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧度与角度的换算例2(1)把112°30'化为弧度;(3)将-1485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α2π.(2)把2π3rad化成度;分析:(1)角度数乘以π180即为弧度数;(2)弧度数乘以180π°即为角度数;(3)先把任意角表示为终边与其终边相同的角,再化成弧度制.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)∵1°=π180rad,∴112°30'=112.5°=112.5×π180rad=5π8rad.(2)∵1rad=180π°,∴2π3rad=2π3×180π°=120°.(3)∵-1485°=-5×360°+315°,315°=315×π180rad=7π4rad,且0≤7π42π,∴-1485°可以表示为2×(-5)π+7π4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法:(1)关键:抓住互化公式πrad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将π化为小数;(5)注意角度制和弧度制不能混用,如α=2kπ+45°,k∈Z,β=k·360°+,k∈Z都是不正确的写法.(2)方法:度数×π180=弧度数;弧度数×180π°=度数;𝜋3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2已知α1=-570°,α2=750°,β1=3π5,β2=-π3.(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角;(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有相同终边的所有角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)α1=-570°=-570π180=-19π6,α2=750°=750π180=25π6.∵α1=-19π6=-2×2π+5π6,α2=25π6=2×2π+π6,∴α1是第二象限角,α2是第一象限角.(2)β1=3π5=35×180°=108°,设θ=k·360°+108°(k∈Z),则由-720°≤θ0°,得-720°≤k·360°+108°0°(k∈Z),解得k=-2或k=-1.∴在-720°~0°范围内,与β1有相同终边的角是-612°和-252°.β2=-π3=-13×180°=-60°,设γ=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤k·360°-60°0°(k∈Z),得k=-1或k=0.∴在-720°~0°范围内,与β2有相同终边的角是-60°和-420°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练用弧度表示角及其范围例3用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析:先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)如题图①,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-π6,而75°=75×π180=5π12,所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为𝜃2𝑘π-π6𝜃2𝑘π+5π12,𝑘∈Z.(2)如题图②,因为30°=π6,210°=7π6,这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线AB上的角为α=kπ+π6,k∈Z,又终边在y轴上的角为β=kπ+π2,k∈Z,从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为𝜃𝑘π+π6𝜃𝑘π+π2,𝑘∈Z.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为𝑥𝑥=𝛼+𝑘·π2,𝑘∈Z,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.解:在0到2π范围内,终边落在直线y=-x上的角有两个,即3π4和7π4.所有与3π4终边相同的角构成的集合为S1=𝛼𝛼=3π4+2𝑘π,𝑘∈Z,所有与7π4终边相同的角构成的集合为S2=𝛼𝛼=7π4+2𝑘π,𝑘∈Z=𝛼𝛼=3π4+(2𝑘+1)π,𝑘∈Z,所以终边落在直线y=-x上的角的集合为S=S1∪S2=𝛼𝛼=3π4+𝑛π,𝑛∈Z.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧长公式与面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.分析:(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,由圆心角为2rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积S=12rl=12×2×4=4(cm2).(2)设圆心角弧度数为α(0α2π),弧长为l,半径为r,则有𝑙+2𝑟=10,12𝑙𝑟=4,解得𝑟=1,𝑙=8或𝑟=4,𝑙=2.当𝑟=1,𝑙=8时,α=𝑙𝑟=82π,不符合题意,舍去;当𝑟=4,𝑙=2时,α=𝑙𝑟=12.综上,圆心角的弧度数为12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0θ2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.解:设扇形的弧长为lcm,半径为rcm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,故当半径为2cm,圆心角为2时,扇形面积最大值为4cm2.因此面积S=12lr=12r(8-2r)=-(r-2)2+4.因为0r4,所以当r=2时,Smax=4cm2,此时l=4,α=𝑙𝑟=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练混用角度制与弧度制致误典例与π4终边相同的角连同π4在内组成的角的集合是.错解一因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z},所以与π4终边相同的角的集合为𝛼𝛼=𝑘·360°+π4,𝑘