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-1-4.2指数函数首页课标阐释思维脉络1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.3.逐步体会指数函数在实际问题中的应用.课前篇自主预习一二一、指数函数的定义1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.(1)变量x与y间存在怎样的关系?提示:y=2x,x∈N*.(2)上述对应关系是函数关系吗?为什么?提示:是.符合函数的定义.2.如果x∈R,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有何结构特征?提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量.3.填空:一般地,函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.课前篇自主预习一二4.指数函数定义中为什么规定了a0且a≠1?提示:将a如数轴所示分为:a0,a=0,0a1,a=1和a1五部分进行讨论:(1)如果a0,如y=(-4)x,这时对于x=14,x=12等,在实数范围内函数值不存在;(2)如果a=0,当𝑥0时,𝑎𝑥恒等于0,当𝑥≤0时,𝑎𝑥无意义;(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;(4)如果0a1或a1,即a0且a≠1,x可以是任意实数.课前篇自主预习一二5.做一做若函数y=(a-2)ax是指数函数,则()A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a0且a≠1解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,答案:C则𝑎-2=1,𝑎0且𝑎≠1,解得a=3.课前篇自主预习一二二、指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象与性质分别在同一平面直角坐标系内画出y=2x与y=12𝑥的图象及y=3x与y=13𝑥的图象,通过观察具体的指数函数的图象,归纳、抽象出y=ax(a0,且a≠1)的图象与性质.课前篇自主预习一二(1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么?提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+∞).(2)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象下降,为减函数.(3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗?提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.课前篇自主预习一二(4)函数y=3x与y=13𝑥的图象有什么关系?提示:通过图象(略)看出y=3x与y=13𝑥的图象也关于y轴对称.(5)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax(a0,且a≠1)的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)提示:定义域为R,值域为(0,+∞),过定点(0,1),当a1时在R上是增函数,当0a1时在R上是减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数.课前篇自主预习一二2.填表指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0,+∞)过定点(0,1),即当x=0时,y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数课前篇自主预习一二3.做一做(1)不论a取何值,函数f(x)=a2x-1+3(a0,且a≠1)一定经过定点()(2)已知函数f(x)=ax(a0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是()A.(0,1)B.(0,3)C.12,4D.12,3课前篇自主预习一二解析:(1)令2x-1=0得x=12,于是f12=a0+3=4,故函数图象一定经过定点12,4.(2)函数f(x)=ax(a0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则由于指数函数是单调函数,则有a1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确.答案:(1)C(2)B课前篇自主预习一二4.判断正误:(1)y=3-x是R上的增函数.()答案:(1)×(2)√(2)函数y=2x与y=12𝑥的图象关于y轴对称.()课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练指数函数的概念例1(1)如果指数函数y=f(x)的图象经过点-2,14,那么f(4)f(2)等于.(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,最后代值求解;(2)依据指数函数的形式定义,确定参数a所满足的条件求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(1)解析:设f(x)=ax(a0,a≠1),∴a-2=.∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.答案:64(2)解:由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得𝑎2-3𝑎+3=1,𝑎0,且𝑎≠1,解得𝑎=1或𝑎=2,𝑎0,且𝑎≠1,故a=2.14反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练(1)已知指数函数的图象经过点P(-1,3),则f(3)=.(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=.解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a0且a≠1),由题意得a-1=3,解得a=13,所以f(x)=13𝑥,故f(3)=133=127.(2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,∴𝑎2-2𝑎+2=1,𝑎+10,𝑎+1≠1,解得a=1.答案:(1)127(2)1课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练指数函数的图象问题例2(1)如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc(2)已知函数f(x)=ax+1+3(a0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是.(3)函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?12|𝑥|课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点的纵坐标即为指数函数底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域和单调区间.(1)解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有ba,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图象向上越靠近y轴,故有dc.故选B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由图可知ba1dc.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.答案:(-1,4)(3)解:∵y=12|𝑥|=12𝑥,𝑥≥0,12-𝑥,𝑥0,∴其图象由y=12𝑥(x≥0)和y=2x(x0)的图象合并而成.而y=12𝑥(x0)和y=2x(x0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟指数函数图象的特点(1)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.(2)因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).(3)指数函数y=ax与y=(a0,且a≠1)的图象关于y轴对称.(4)处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.1𝑎𝑥课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?解:y=2|x|=2𝑥,𝑥≥0,12𝑥,𝑥0,其图象是由y=2x(x≥0)与y=12𝑥(x0)两部分合并而成,则原函数的图象关于y轴对称,如图.由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练指数型函数的性质及其应用例3(1)求下列函数的定义域与值域:①y=21𝑥-4;②y=23-|𝑥|.(2)比较下列各题中两个值的大小:①2.53,2.55.7;②1.5-7,8274;③2.3-0.28,0.67-3.1.分析:(1)根据解析式有意义的条件求解函数定义域,然后结合指数函数的单调性求解函数的值域;(2)根据两数的结构特征构造指数函数,将其转化为指数函数的单调性问题求解,或借助中间值比较大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)①∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵1𝑥-4≠0,∴21𝑥-4≠1.∴y=21𝑥-4的值域为(0,1)∪(1,+∞).②函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=23-|𝑥|=32|𝑥|≥320=1.故y=23-|𝑥|的值域为[1,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又35.7,∴2.532.55.7.②(化同底)1.5-7=32-7=237,8274=2334=2312,构造函数y=23𝑥.∵0231,∴y=23𝑥在R上是减函数.又712,∴2372312,即1.5-78274.③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.282.30=1,0.67-3.10.670=1,则2.3-0.280.67-3.1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.函数y=af(x)(a0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x);②求t=f(x)的定义域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.2.比较幂的大小的常用方法:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究比较下面两个数的大小:(a-1)1.3与(a-1)2.4(a1,且a≠2).解:因为a1,且a≠2,所以a-10,且a-1≠1,若a-11,即a2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3(a-1)2.4.若0a-11,即1a2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3(a-1)2.4.故当a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4;当1a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练换元法在求函数值域中的应用(1)求函数的单调区间;(2)求函数的值域.典例已知函数y=14𝑥−12𝑥+1的定义域为[-3,2].分析:原函数可以看作是y关于12𝑥的二次函数,换元后转化为二次函数在闭区间上的最值问题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)令t=12𝑥,则y=t2-t+1=𝑡-122+34,当x∈(1