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-1-4.1指数首页课标阐释思维脉络1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.2.能利用根式的性质对根式进行运算.3.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.课前篇自主预习一二三四一、n次方根1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零.(2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根?提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.课前篇自主预习一二三四2.填空:课前篇自主预习一二三四3.做一做:用根式表示下列各式.(1)已知x5=2019,则x=;(2)已知x4=2019,则x=.答案:(1)20195(2)±201944.判断正误:答案:×𝑎𝑛对任意a∈R都有意义,并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根,即(𝑎𝑛)n=a.()课前篇自主预习一二三四二、根式1.(1)类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示:a为正数:𝑛为奇数,𝑎的𝑛次方根有一个,为a𝑛,𝑛为偶数,𝑎的𝑛次方根有两个,为±𝑎𝑛;a为负数:𝑛为奇数,𝑎的𝑛次方根只有一个,为𝑎𝑛,𝑛为偶数,𝑎的𝑛次方根不存在;零的n次方根为零,记为0𝑛=0.(2)根据n次方根的意义,可知(a𝑛)n=a肯定成立,那么等式𝑎𝑛𝑛=a一定成立吗?提示:不一定成立.通过探究可得到:n为奇数,𝑎𝑛𝑛=a;n为偶数,𝑎𝑛𝑛=|a|=𝑎,𝑎≥0,-𝑎,𝑎0.课前篇自主预习一二三四2.填空课前篇自主预习一二三四3.做一做(1)若(-2𝑛)n=-2(n1,且n∈N*)有意义,则n为数;(填“奇”或“偶”)(2)若mn,则(𝑚-𝑛)2=.答案:(1)奇(2)n-m课前篇自主预习一二三四三、分数指数幂1.(1)整数指数幂的运算性质有哪些?(2)零指数幂和负整数指数幂是如何规定的?提示:规定:a0=1(a≠0);00无意义,a-n=1𝑎𝑛(a≠0).提示:①am·an=am+n;②(am)n=am·n;③𝑎𝑚𝑎𝑛=am-n(mn,a≠0);(4)(a·b)m=am·bm.课前篇自主预习一二三四(3)根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律?①𝑎105=(𝑎2)55=a2=𝑎105(a0);②𝑎8=(𝑎4)2=a4=𝑎82(a0);③𝑎124=(𝑎3)44=a3=𝑎124(a0).提示:当根式的被开方数(被开方数大于0)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.课前篇自主预习一二三四2.填表正数的分数指数幂的意义正数的分数指数幂正数的正分数指数幂规定:amn=amn(a0,m,n∈N*,且n1)正数的负分数指数幂规定:𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*,且n1)规定0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂和零次幂没有意义课前篇自主预习一二三四3.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用?提示:由于整数指数幂、分数指数幂都有意义,因此有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:(1)aras=ar+s(a0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).课前篇自主预习一二三四4.做一做(1)若a0,且m,n为整数,则下列各式正确的是()A.am·an=am·nB.am÷an=𝑎𝑚𝑛C.(am)n=am+nD.1÷an=a-n(2)将下列根式化为分数指数幂:①163=;②𝑥25=;③𝑚-56=(m≥0).(3)将下列分数指数幂化为根式:①537=;②𝑥34=(x≥0);③𝑎-23=(a≠0).解析:(2)①163=1613=243;②x25=𝑥25;③m-56=𝑚-56.(3)①537=537=1257;②𝑥34=x34;③a-23=1𝑎23=1𝑎23.答案:(1)D(2)①243②𝑥25③𝑚-56(3)①1257②𝑥34③1𝑎23课前篇自主预习一二三四四、无理数指数幂1.如何理解52?(阅读教材有关内容)提示:当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时,52的近似值从小于52的方向逼近52;当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时,52的近似值从大于52的方向逼近52.所以52是一个确定的实数.2.无理数指数幂aα(a0,α是一个无理数)有何意义?有怎样的运算性质?提示:无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说,无理数指数幂aα(a0,α是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练根式的概念例1(1)27的立方根是;16的4次方根是.(2)已知x6=2019,则x=.反思感悟根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.(3)若x+34有意义,则实数x的取值范围为.解析:(1)27的立方根是273=3,16的4次方根为±164=±2.(2)由根式的定义可得x=±20196.(3)要使𝑥+34有意义,则x需满足x+3≥0,即x≥-3.答案:(1)3±2(2)±20196(3)x≥-3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练1已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:A.1个B.2个C.3个D.0个答案:A①(-3)2𝑛6;②𝑎25;③(-5)2𝑛+16;④-𝑎29,其中无意义的有()课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练根式的化简(求值)例2求下列各式的值:(1)(a-b5)5+(𝑏-𝑎6)6(ba);(2)𝑥2-2𝑥+1−𝑥2+6𝑥+9(-3x3).分析:(1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)原式=a-b+b-a=0.(2)原式=(𝑥-1)2−(𝑥+3)2=|x-1|-|x+3|.∵-3x3,∴当-3x1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.∴原式=-2𝑥-2,-3𝑥1,-4,1≤𝑥3.反思感悟(1)化简𝑎𝑛𝑛时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(𝑎𝑛)n时,关键是明确𝑎𝑛是否有意义,只要𝑎𝑛有意义,则(𝑎𝑛)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.𝑎𝑛𝑛课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究(1)该例中的(2),若x-3呢?(2)该例中的(2),若x3呢?解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x-3,则x-10,x+30,故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4;(2)若x3,则x-10,x+30,故该式=(x-1)-(x+3)=-4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练分数指数幂的简单计算例3计算:分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.在幂的运算中,对于形如m0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m≠0时,m0才有意义;而对于形如𝑏𝑎-𝑛的式子,我们一般是先变形为𝑎𝑏𝑛,再进行运算.(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-34;(4)(2a+1)0;(5)56-35-1-1;(6)0.064-13−-780+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)12527-23=5333-23=5-23-2=3252=925.(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=15-2=52=25.(3)812401-34=3474-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0=1,𝑎≠-12,无意义,𝑎=-12.(5)56-35-1-1=56-53-1=-56-1=-65.(6)原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练条件求值例4已知𝑎12+𝑎-12=5(a0),求下列各式的值:(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件的联系,进而整体代入求值.𝑎12+𝑎-12=5解:(1)将𝑎12+𝑎-12=5的两边平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.所以y=±35,即a2-a-2=±35.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练2已知x+y=12,xy=9,且xy,求𝑥12-𝑦12𝑥12+𝑦12的值.分析:观察已知代数式和所求代数式的特点可知,𝑥122=x,𝑦122=y.于是联想到用完全平方公式,把公式𝑥12-𝑦12𝑥12+𝑦12的分子、分母同乘以分母的有理化因式后,分式的分子就变成了用x+y,xy表示的代数式.解:∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.∵xy,∴x-y=-63.∴𝑥12-𝑦12𝑥12+𝑦12=(𝑥12-𝑦12)2(𝑥12+𝑦12)(𝑥12-𝑦12)=(𝑥+𝑦)-2(𝑥𝑦)12𝑥-𝑦=12-2×912-63=-33.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练用换元法处理指数幂中的化简与证明问题分析:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.典例已知pa3=qb3=rc3,且1𝑎+1𝑏+1𝑐=1.求证:(pa2+qb2+rc2)13=𝑝13+𝑞13+𝑟13.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练证明令pa3=qb3=rc3=k,则pa2=