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-1-1.2复数的有关概念目标导航1.理解复数的有关概念及两个复数相等的充要条件.2.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义.知识梳理1.两个复数相等的充要条件设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di的充要条件是a=c,且b=d.名师点拨复数相等是将复数问题转化为实数问题的重要途径.【做一做1】若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.4解析:由题意,得4-3𝑎=𝑎2,-𝑎2=4𝑎,解得a=-4.答案:C知识梳理2.复平面与复数的几何意义(1)复平面(2)复数的几何意义知识梳理名师点拨实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除去原点外都表示纯虚数.知识梳理【做一做2】若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点位于复平面内的第四象限,则b+ai对应的点位于复平面内的第象限.解析:由题意,知a0,b0,则点(b,a)位于第二象限.答案:二知识梳理3.复数的模或绝对值设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,显然,|z|=𝑎2+𝑏2.【做一做3】判断:(正确的打“”,错误的打“×”)(1)虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.()(2)复数z=2+i(i为虚数单位)的模为5.()(3)实部是5,模为5的复数z=5.()×【做一做4】若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数z=a+bi的模等于()A.1B.2C.5D.5解析:2+ai=b-i⇔a=-1,b=2,则|z|=1+4=5.答案:C典例透析题型一题型二题型三题型四复数相等【例1】已知(2x-3y)+(x-y+1)i=(x-y)+(3x-4y)i,求实数x,y的值.分析:根据复数相等的定义,将等式转化为关于x,y的方程组来求解.解:由复数相等的定义,得2𝑥-3𝑦=𝑥-𝑦,𝑥-𝑦+1=3𝑥-4𝑦.解得𝑥=2,𝑦=1.反思两个复数相等的充要条件是实部与实部相等,虚部与虚部相等,这样就把复数方程转化为实数方程组了.做题时要注意未知量的取值范围是实数还是复数,以便能够分清复数的实部和虚部.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求适合下列方程的x和y(x,y∈R)的值:(1)(x+2y)-i=6x+(x-y)i;(2)(x+y+1)-(x-y+2)i=0.解:(1)根据复数相等的定义,得𝑥+2𝑦=6𝑥,-1=𝑥-𝑦,解得𝑥=23,𝑦=53.(2)由复数等于零的充要条件,得𝑥+𝑦+1=0,-(𝑥-𝑦+2)=0,解得𝑥=-32,𝑦=12.典例透析题型一题型二题型三题型四复数的几何意义【例2】当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:(1)位于第四象限;(2)在上半平面(含实轴).分析:根据复数与复平面内的点的一一对应关系,依题设要求列出不等式(组)求解即可.解:(1)要使点位于第四象限,∴-7m3.(2)要使点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.需满足𝑚2-8𝑚+150,𝑚2+3𝑚-280,∴𝑚3或𝑚5,-7𝑚4.典例透析题型一题型二题型三题型四反思按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求当实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点:(1)位于第二象限;(2)位于直线y=x上.解:根据复数的几何意义可知,复平面内复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i对应的点就是点Z(a2+a-2,a2-3a+2).解得-2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1).(2)由点Z位于直线y=x上,得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.(1)由点Z位于第二象限,得𝑎2+𝑎-20,𝑎2-3𝑎+20,典例透析题型一题型二题型三题型四分析:|z|的几何意义是复数z对应的点到原点O的距离.复数的模【例3】已知z1=x2+𝑥2+1i,𝑧2=(𝑥2+𝑎)i,对于任意𝑥∈R,有|z1||z2|成立,试求实数a的取值范围.|z2|=(𝑥2+𝑎)2=|𝑥2+𝑎|.∵|z1||z2|,∴𝑥4+𝑥2+1|𝑥2+𝑎|⇔x4+x2+1x4+2ax2+a2.∴(1-2a)x2+1-a20恒成立.典例透析题型一题型二题型三题型四∴当1-2a=0,即a=12时,0+1−140恒成立,符合题意.当1-2𝑎0,𝛥=-4(1-2𝑎)(1-𝑎2)0,即-1a12时,(1-2a)x2+1-a20恒成立.综上所述,a的取值范围为-1,12.反思复数z=a+bi(a,b∈R)的模可以比较大小.题目中的不等式对任意x∈R都成立,即恒成立.要注意不等式的类型,不确定时要分类讨论,考虑问题要全面仔细.|z|=𝑎2+𝑏2为非负实数,典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知0a2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是.解析:因为|z|=𝑎2+12=𝑎2+1,𝑎∈(0,2),所以|z|∈(1,5).答案:(1,5)典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽略复数“模”的几何意义致误【例4】已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是()A.一个圆B.线段C.两个点D.两个圆错解:D错因分析忽略了“|z|”的几何意义是“z的对应点Z到坐标原点的距离”导致错误.事实上,由题意,知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1.因为|z|≥0,故|z|=-1舍去.正解:A典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】设z∈C,满足下列条件的复数z的对应点Z的集合分别是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.解:(1)设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=4,得|x+yi|=4,即x2+y2=16.从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆.(2)设z=x+yi(x,y∈R).由2|z|4,得2|x+yi|4,即4x2+y216.从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心,以2和4为半径的圆所夹的圆环,且不包含圆环的内、外边界.123451.复数z1=1+3i和𝑧2=1−3i在复平面内对应的点关于()A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限的角平分线对称D.二、四象限的角平分线对称解析:复数z1,z2对应的点分别为Z1(1,3),𝑧2(1,−3),关于实轴对称.答案:A123452.若复数z=a+4i(a∈R),且|z|=5,则a等于()A.3B.-3C.5D.±3解析:由复数的模的定义,知|z|=𝑎2+42=5,所以a=±3.答案:D123453.已知复数z=a−13i(𝑎∈R)对应的点都在圆心为原点的单位圆内(不含边界),则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.-223,223D.(−1,0)∪(0,1)解析:∵复数z=a−13i(𝑎∈R)对应的点𝑎,-13在圆x2+y2=1内,∴a2+191,解得−223𝑎223.答案:C123454.已知复数z1=5+i,z2=5+bi,且|z1|=|z2|,则实数b的值为.解析:|z1|=|z2|⇒52+1=52+𝑏2⇒b2=1⇒b=±1.答案:±1123455.已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)·z为纯虚数.(1)求复数z;(2)若w=𝑧2+i,求复数𝑤的模|𝑤|.解:(1)(1+3i)·(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i,∵(1+3i)·z是纯虚数,∴3-3b=0,且9+b≠0.∴b=1,∴z=3+i.(2)w=3+i2+i=(3+i)·(2-i)(2+i)·(2-i)=7-i5=75−15i.∴|w|=752+152=2.