2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明本章整合课件 北师大版选修1-2

-1-本章整合知识建构推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理证明直接证明综合法分析法间接证明——反证法综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题一归纳推理归纳推理可根据一类事物中部分事物具有的某种属性,推断出这类事物中每一个事物都有这种属性,是由部分到整体,由个别到一般的推理过程.在归纳推理时应注意找规律,结论不一定正确.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用已知等式sin25°+cos235°+sin5°cos35°=34;sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34;sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34;……由此归纳出对任意角θ都成立的一个等式,并予以证明.提示:观察、归纳所给的三个式子的特点,每个式子中都有两个角,而且都相差30°,由此就可得到一个一般的等式,可通过有关的三角函数公式进行证明.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:由已知等式归纳所得的等式为sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=34.证明如下:sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθ(cosθcos30°-sinθsin30°)=sin2θ+cos2(θ+30°)+32sinθcosθ−12sin2𝜃=12sin2𝜃+32sinθcosθ+cos2(θ+30°)=1-cos2𝜃4+34sin2θ+1+cos(2𝜃+60°)2=14−14cos2θ+34sin2θ+12+12cos(2𝜃+60°)=34+1232sin2𝜃-12cos2𝜃+12cos(2𝜃+60°)=34−12cos(2𝜃+60°)+12cos(2𝜃+60°)=34,综合应用专题一专题二专题三专题四专题五所以原结论成立.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题二类比推理类比推理是两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,但不一定正确.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1我们已经学过了等差数列,你是否想过有没有等和数列呢?(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义;(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点,并加以说明;(3)在等和数列{an}中,如果a1=a,a2=b,求它前n项的和Sn.提示:通过对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义和性质.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫作等和数列.(2)由(1),知an+an+1=an+1+an+2.得an+2=an.则等和数列的奇数项相等,偶数项也相等.(3)当n为奇数时,令n=2k-1,k∈N+,则Sn=S2k-1=S2k-2+a2k-1=2𝑘-22𝑎+𝑏+𝑎=𝑛-12𝑎+𝑏+𝑎=𝑛+12𝑎+𝑛-12𝑏;当n为偶数时,令n=2k,k∈N+,则Sn=S2k=k(a+b)=𝑛2(𝑎+𝑏).故数列前n项的和Sn=𝑛+12𝑎+𝑛-12𝑏(𝑛为奇数),𝑛2(𝑎+𝑏)(𝑛为偶数).综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知点O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边于A',B',C',则𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'=𝑆△𝑂𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐶𝐴𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐴𝐵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶=1.则在空间四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷中存在怎样的结论?请给予证明.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:如图,在四面体A-BCD内,任取一点O,连接AO,BO,CO,DO,并分别延长交对面于A',B',C',D',则有𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'+𝑂𝐷'𝐷𝐷'=1.在四面体O-BCD与A-BCD中,𝑂𝐴'𝐴𝐴'=𝑉𝑂-𝐵𝐶𝐷𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷,同理有𝑂𝐵'𝐵𝐵'=𝑉𝑂-𝐴𝐶𝐷𝑉𝐵-𝐴𝐶𝐷,𝑂𝐶'𝐶𝐶'=𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐷𝑉𝐶-𝐴𝐵𝐷,𝑂𝐷'𝐷𝐷'=𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐶𝑉𝐷-𝐴𝐵𝐶,所以𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'+𝑂𝐷'𝐷𝐷'=𝑉𝑂-𝐵𝐶𝐷𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐶𝐷𝑉𝐵-𝐴𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐷𝑉𝐶-𝐴𝐵𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐶𝑉𝐷-𝐴𝐵𝐶=𝑉𝑂-𝐵𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐶𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷=1,即𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'+𝑂𝐷'𝐷𝐷'=1.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题三综合法证明从已知条件、已知事实或已知的定理出发,逐步推得所要证的结论为综合法.此法比较简捷,是由因导果的方法.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项的和.记其中c为实数.若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,试证明:Snk=n2Sk(k,n∈N+).提示:用等差数列前n项和公式,得出Sn的表达式,再利用“b1,b2,b4成等比数列”得到a与d的关系式,代入验证等式成立.bn=𝑛𝑆𝑛𝑛2+𝑐,𝑛∈N+,化简,得D2-2aD=0.因为D≠0,所以D=2a.因此,对于所有的k∈N+,有Sk=k2a.从而对于所有的k,n∈N+,有Snk=(nk)2a=n2Sk.证明:由题意,得Sn=na+𝑛(𝑛-1)2𝑑.由c=0,得bn=𝑆𝑛𝑛=𝑎+𝑛-12𝑑.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以𝑏22=𝑏1𝑏4,即𝑎+𝑑22=𝑎𝑎+32𝑑,综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题四分析法证明从要证明的结论入手,逐步探索结论成立的充分条件为分析法,其过程为“执果索因”.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用已知a0,b0,且a+b=1,用分析法证明𝑎+1𝑎𝑏+1𝑏≥254.提示:由𝑎+1𝑎𝑏+1𝑏≥254入手探索条件.证明:要证𝑎+1𝑎𝑏+1𝑏≥254成立,∵a0,b0,∴只需证4a2b2+4(a2+b2)+4-25ab≥0.∵a+b=1,∴a2+b2=1-2ab,∴只需证4a2b2-33ab+8≥0,即只需证ab≤14或ab≥8成立.∵a0,b0,a+b=1,∴0a1,0b1.∴ab≥8不成立.而由a+b≥2𝑎𝑏,𝑎+𝑏=1,得ab≤14成立,当且仅当a=b=12时取等号.故𝑎+1𝑎𝑏+1𝑏≥254成立.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题五反证法证明反证法证明就是先假设结论不成立,然后得出与已知条件或与事实相矛盾的结论,从而说明假设不成立,得出原结论成立.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1若a,b,c都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于14.提示:本题的结论中含有“不可能”,常常用反证法证明.证法一假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14.则三式相乘,得(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c164.又(1-a)·a≤1-𝑎+𝑎22=14①,同理,(1-b)·b≤14②,(1−𝑐)·c≤14③,联立①②③式,得(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c≤164.得出矛盾,因此假设不成立.故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于14.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五证法二假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14.∵0a1,∴1-a0.∴(1-𝑎)+𝑏2≥(1-𝑎)·𝑏14=12.同理,得(1-𝑏)+𝑐212,(1-𝑐)+𝑎212.将上述三式相加,得(1-𝑎)+𝑏2+(1-𝑏)+𝑐2+(1-𝑐)+𝑎232,即3232.从而假设不成立.故原命题成立.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证:AC与平面SOB不垂直.证明:假设AC⊥平面SOB,连接AB(图略).∵直线SO在平面SOB内,∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.∵AC∩AB=A,∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾,∴假设不成立,即AC与平面SOB不垂直.12345671(2018·浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a4B.a1a3,a2a4C.a1a3,a2a4D.a1a3,a2a4解析:设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3+a4=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞,𝑎1+𝑎2+𝑎3=𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞.∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),∴a1+a2+a3=e𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4,即a1(1+q+q2)=e𝑎1(1+𝑞+𝑞2+𝑞3).1234567又a11,∴q0.假设1+q+q21,即q+q20,解得q-1(q0舍去).由a11,可知a1(1+q+q2)1,∴a1(1+q+q2+q3)0,即1+q+q2+q30,即(1+q)+q2(1+q)0,即(1+q)(1+q2)0,这与q-1相矛盾.∴1+q+q21,即-1q0.∴a1a3,a2a4.答案:B12345672(2018·北京高考)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A解析:若(2,1)∈A,则2𝑎+14,2-𝑎≤2,2-1≥1,化简,得𝑎32,𝑎≥0,即a32,所以当且仅当a≤32时,(2,1)∉A.故选D.答案:D12345673(2017·全国2高考)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案:D12345674(2018·全国1高考)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23𝐷𝐴,求三棱锥𝑄−𝐴𝐵𝑃的体积.1234567(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⫋平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解:由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23𝐷𝐴,所以BP=22.作QE⊥AC,垂足为E,则QE􀱀13𝐷𝐶.由已知及(1)可得DC⊥平面AB