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-1-3.2分析法目标导航1.了解直接证明的另一种基本方法:分析法.2.理解分析法的思考过程及特点.3.学会用分析法和分析综合法证明问题.知识梳理1.分析法(1)定义:从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法.(2)基本思路分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后找到一个明显成立的条件.(3)思维模式若用Q表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表示:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件知识梳理名师点拨用分析法证明问题要注意以下三点:(1)用分析法证明,从结论出发,执果索因,即从“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠拢.(2)分析法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在其步骤的步步可逆.分析法的优点是有利于思考,因为它结果明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是易于表述,条理清晰,形式简捷.因而证明问题时,常用分析法寻找解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程.知识梳理2.分析综合法(1)定义:分析综合法又叫混合型分析法,它一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯(倒推)到中间;一方面从问题的条件出发,用前进(顺推)型分析法,经逻辑推理导出一个相同的中间结果,从而沟通思路,使问题得到解决.(2)基本思路已知条件→中途结果←结论分析综合法既是证明推理方法,又是探求方法.(3)思维模式若用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则分析综合法可用框图表示为:P⇒P1→P1⇒P2→…→Pn⇒P'⇓Q'⇒Qm←…←Q2⇒Q1←Q1⇒Q知识梳理【做一做】已知abc0,则下列不等式成立的是()A.1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐4𝑎-𝑐B.1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐4𝑎-𝑐C.1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐≥4𝑎-𝑐D.1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐≤4𝑎-𝑐解析:因为abc0,所以a-b0,a-c0,b-c0.因为a-c=(a-b)+(b-c),即2b=a+c时,等号成立.故选C.答案:C所以𝑎-𝑐𝑎-𝑏+𝑎-𝑐𝑏-𝑐=(𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐)𝑎-𝑏+(𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐)𝑏-𝑐=1+𝑏-𝑐𝑎-𝑏+𝑎-𝑏𝑏-𝑐+1≥2+2𝑏-𝑐𝑎-𝑏·𝑎-𝑏𝑏-𝑐=4.所以𝑎-𝑐𝑎-𝑏+𝑎-𝑐𝑏-𝑐≥4,即1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐≥4𝑎-𝑐,当且仅当b-c=a-b,典例透析题型一题型二题型三题型四用分析法证明不等式问题【例1】已知ab0,求证:(𝑎-𝑏)28𝑎𝑎+𝑏2−𝑎𝑏(𝑎-𝑏)28𝑏.分析:本题条件较为简单,结论比较复杂,我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:因为ab0,所以要证(𝑎-𝑏)28𝑎𝑎+𝑏2−𝑎𝑏(𝑎-𝑏)28𝑏成立,即证(𝑎-𝑏)24𝑎(𝑎−𝑏)2(𝑎-𝑏)24𝑏成立.只需证𝑎-𝑏2𝑎𝑎−𝑏𝑎-𝑏2𝑏成立.只需证𝑎+𝑏2𝑎1𝑎+𝑏2𝑏成立,即证𝑎+𝑏2𝑎,且𝑎+𝑏2𝑏,即𝑏𝑎.因为ab0,所以𝑏𝑎成立.故(𝑎-𝑏)28𝑎𝑎+𝑏2−𝑎𝑏(𝑎-𝑏)28𝑏成立.典例透析题型一题型二题型三题型四反思由于题目中条件比较简单,结论比较复杂,用综合法比较困难,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知a,b,c是不全相等的正数,求证:lg𝑎+𝑏2+lg𝑏+𝑐2+lg𝑐+𝑎2lg𝑎+lg𝑏+lg𝑐.证明:要证lg𝑎+𝑏2+lg𝑏+𝑐2+lg𝑐+𝑎2lga+lgb+lgc,只需证lg𝑎+𝑏2·𝑏+𝑐2·𝑐+𝑎2lg(𝑎·b·c),只需证𝑎+𝑏2·𝑏+𝑐2·𝑐+𝑎2𝑎𝑏𝑐.因为a,b,c都为正数,所以𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏0,𝑏+𝑐2≥𝑏𝑐0,𝑐+𝑎2≥𝑎𝑐0,又a,b,c是不全相等的正数,所以上述三式中的等号不全成立,所以𝑎+𝑏2·𝑏+𝑐2·𝑐+𝑎2𝑎𝑏𝑐,因此lg𝑎+𝑏2+lg𝑏+𝑐2+lg𝑐+𝑎2lga+lgb+lgc.典例透析题型一题型二题型三题型四用分析法证明几何问题【例2】如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.分析:本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:要证AF⊥SC,只需证SC⊥平面AEF,只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC),只需证AE⊥平面SBC,只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB),只需证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可知,BC⊥SA成立.所以AF⊥SC.反思在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直的问题,转化为证明直线与平面垂直的问题.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,P是△ABC所在平面外一点,并且PA,PB,PC两两垂直,PH⊥平面ABC于点H,求证:H是△ABC的垂心.证明:要证H是△ABC的垂心,只需证AC⊥HB,且BC⊥AH,只需证BC⊥平面PHA,AC⊥平面PHB,只需证BC⊥AP,且BC⊥PH,AC⊥PB,且AC⊥PH.由于PH⊥平面ABC,所以只需证BC⊥AP,AC⊥PB.即证AP⊥平面PBC,PB⊥平面PAC.也就是要证AP⊥PB,AP⊥PC,PB⊥PA,PB⊥PC.由条件PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以结论成立,即H是△ABC的垂心.典例透析题型一题型二题型三题型四用分析综合法证明问题【例3】已知△ABC的三个内角A,B,C的度数成等差数列,记A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐.证明:要证1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐,只需证𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐=3,即证𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1,因此只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.由△ABC的三个内角A,B,C的度数成等差数列,知∠B=60°.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°.即b2=c2+a2-ac.即c2+a2=ac+b2.故命题得证.典例透析题型一题型二题型三题型四反思综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P,若由Q可推出P,即可得证.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若tan(α+β)=2tanα,求证:3sinβ=sin(2α+β).证明:由tan(α+β)=2tanα,得sin(𝛼+𝛽)cos(𝛼+𝛽)=2sin𝛼cos𝛼,即sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα.(*)要证3sinβ=sin(2α+β),即证3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即证3[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.化简,得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα.由已知得(*)已经成立,所以,命题成立.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点不等式变形时,未注意前提而致误【例4】求证:2−53−6.错误证法:要证2−53−6,只需证(2−5)2(3−6)2,即证7-2109−218,只需证-2102−218,只需证18−101,即证28-21801,只需证272180,即证729720,这与事实不相符,故原不等式不成立.错因分析:ab⇔a2b2的前提是:a,b都是大于0的实数.由于没注意到这一点,从而造成逻辑上的错误.正确证法:要证2−53−6,只需证2+63+5,即证8+2128+215(两边平方),只需证1215,即证1215,这是事实,故原不等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】当a≥2时,求证:𝑎+1−𝑎𝑎-1−𝑎-2.证明:要证𝑎+1−𝑎𝑎-1−𝑎-2,只需证𝑎+1+𝑎-2𝑎+𝑎-1,只需证(𝑎+1+𝑎-2)2(𝑎+𝑎-1)2,只需证a+1+a-2+2(𝑎+1)(𝑎-2)𝑎+𝑎−1+2𝑎(𝑎-1),只需证(𝑎+1)(𝑎-2)𝑎(𝑎-1),只需证(a+1)(a-2)a(a-1),即证-20,这显然成立,所以𝑎+1−𝑎𝑎-1−𝑎-2成立.123451.已知a,b是不相等的正数,x=𝑎+𝑏2,𝑦=𝑎+𝑏,则𝑥,𝑦的大小关系是()A.xyB.xyC.x2𝑦D.不确定解析:由条件,知x0,y0,∴要比较x,y的大小,只需比较x2,y2的大小,即比较𝑎+𝑏+2𝑎𝑏2与a+b的大小.∵a,b为不相等的正数,∴2𝑎𝑏𝑎+𝑏.∴𝑎+𝑏+2𝑎𝑏2𝑎+𝑏,即x2y2.∴xy.答案:B123452.要证明𝑎+𝑎+7𝑎+3+𝑎+4(𝑎≥0)可选择的方法有多种,其中最合理的是()A.综合法B.类比法C.分析法D.归纳法解析:从待证不等式不易发现证明的出发点,类比法、归纳法更不行,故应选择分析法,故选C.答案:C123453.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:𝑏2-𝑎𝑐3𝑎.则证明的依据应是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0解析:𝑏2-𝑎𝑐3𝑎⇔b2-ac3a2⇔(a+c)2-ac3a2⇔(a-c)(2a+c)0⇔(a-c)(a-b)0.故选C.答案:C123454.将下面用分析法证明𝑎2+𝑏22≥ab的步骤补充完整:要证𝑎2+𝑏22≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证,由于显然成立,因此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0123455.设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求证:3S≤I24S.证明:因为I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,所以要证3S≤I24S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S4S,即证S≤a2+b2+c22S.欲证S≤a2+b2+c2,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0,即证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0.因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,c2+a2-2ca=(c-a)2≥0,12345欲证a2+b2+c22S,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0.因为ab+c,bc+a,ca+b,所以a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即a2-ab-ac0,b2-bc-ba0,c2-ca-cb0,所以(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,所以3S≤I24S.