搜索
-1-第4课时用向量方法求空间中的距离目标导航1.了解空间中两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离.2.能用向量方法解决空间中的两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离的问题.知识梳理空间中距离的向量求法(1)两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离dAB=|𝐴𝐵|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2+(𝑧2-𝑧1)2.(2)已知点P和平面α内任一点A,向量n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离可表示为|𝑃𝐴·𝑛||𝑛|.知识梳理【做一做1】空间内有三点A(2,1,3),B(0,2,5),C(3,7,0),则点B到AC的中点P的距离为()A.102B.5C.3102D.35解析:∵𝑃52,4,32,∴|𝐵𝑃|=52-02+(4-2)2+32-52=254+4+494=3102.答案:C知识梳理【做一做2】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.12B.24C.22D.32解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),𝑂12,12,1,∴𝐴𝐵=(0,1,0),𝐴𝐷1=(−1,0,1).设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量,则𝐴𝐵·𝑛=𝑦=0,𝐴𝐷1·𝑛=-1+𝑧=0,解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1).又𝑂𝐴=12,-12,-1,∴点O到平面ABC1D1的距离为|𝑂𝐴·𝑛||𝑛|=122=24.答案:B重难聚焦求点到平面的距离剖析:如图,BO⊥平面α,垂足为O,则点B到平面α的距离就是线段BO的长度.若AB是平面α的任一条斜线段,则在Rt△BOA中,|𝐵𝑂|=|𝐵𝐴|·cos∠ABO=|𝐵𝐴||𝐵𝑂|cos∠𝐴𝐵𝑂|𝐵𝑂|.如果令平面α的法向量为n,考虑到法向量的方向,可以得到点B到平面α的距离为|𝐵𝑂|=|𝐴𝐵·𝑛||𝑛|.重难聚焦因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得点到平面的距离.因为𝑛|𝑛|=n0可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即d=|𝐴𝐵·n0|.线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解.典例透析题型一题型二题型三求两点间的距离【例1】如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度.分析:本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|=𝑎·𝑎求解.典例透析题型一题型二题型三解:因为𝐶𝐷=𝐶𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐷,所以|𝐶𝐷|2=(𝐶𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐷)2=|𝐶𝐴|2+|𝐴𝐵|2+|𝐵𝐷|2+2(𝐶𝐴·𝐴𝐵+𝐴𝐵·𝐵𝐷+𝐶𝐴·𝐵𝐷)=22+12+32+2[0+0+|𝐶𝐴|·|𝐵𝐷|cos(180°−60°)]=4+1+9+2×2×3×-12=8,故|𝐶𝐷|=22,即CD长度为22.反思利用空间向量求空间两点距离的基本方法(1)坐标法,建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两点距离公式求解;(2)向量分解法,将两点所对应向量用一组基底表示,然后利用公式|a|=𝑎·𝑎求解.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,点N是BB1的中点,且𝐴𝑀=13𝐴𝐶1,则|𝑀𝑁|等于()A.216𝑎B.66𝑎C.156𝑎D.153𝑎典例透析题型一题型二题型三解析:建立如图所示的空间直角坐标系.则A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),∴𝑁𝑎,𝑎,𝑎2,𝐴𝐶1=(−𝑎,𝑎,𝑎).设M(x,y,z),则𝐴𝑀=(𝑥−𝑎,𝑦,𝑧).由𝐴𝐶1=3𝐴𝑀,得3(𝑥-𝑎)=-𝑎,3𝑦=𝑎,3𝑧=𝑎,∴𝑀2𝑎3,𝑎3,𝑎3,∴𝑀𝑁=𝑎3,2𝑎3,𝑎6,即|𝑀𝑁|=216𝑎.答案:A典例透析题型一题型二题型三点到平面的距离【例2】在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.典例透析题型一题型二题型三解:如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,则𝐴-12,0,0,𝐵3-12,0,12,𝐶0,32,0,𝐷12,0,0,∴𝐴𝐶=12,32,0,𝐴𝐵=32,0,12,𝐷𝐶=-12,32,0.设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则𝑛·𝐴𝐵=32𝑥+12𝑧=0,𝑛·𝐴𝐶=12𝑥+32𝑦=0,典例透析题型一题型二题型三∴y=−33𝑥,𝑧=−3𝑥,可取n=(−3,1,3),代入d=|𝐷𝐶·𝑛||𝑛|,得d=32+3213=3913.即点D到平面ABC的距离是3913.反思用向量法求点到平面的距离,垂线段常常不用作出来.只需首先设出垂线段对应的方向向量或平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为解方程组求出其法向量,然后求解点到平面的距离.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为.解析:如图,建立空间直角坐标系Dxyz.由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),则𝐴1𝐵=(0,2,−1),𝐴1𝐶1=(−1,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则2𝑦-𝑧=0,-𝑥+2𝑦=0.取x=2,则n=(2,1,2).又𝐵𝐵1=(0,0,1),故d=|𝐵𝐵1·𝑛||𝑛|=23.答案:23典例透析题型一题型二题型三易错辨析易错点对向量法求点到平面距离的方法理解不清致错【例3】如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,则点𝐴到平面𝑀𝐵𝐶的距离为___________________.典例透析题型一题型二题型三错解:取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.以O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=3,𝐴𝐵=23,所以点C(1,0,0),M(0,0,3),𝐵(0,−3,0),𝐴(0,−3,23).设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则𝐵𝐶=(1,3,0),𝐵𝑀=(0,3,3),由𝑛·𝐵𝐶=0,𝑛·𝐵𝑀=0,得𝑥+3𝑦=0,3𝑦+3𝑧=0.取n=(3,−1,1).又𝑂𝐴=0,−3,23,则点A到平面MBC的距离d=|𝑂𝐴·𝑛||𝑛|=335=3155.典例透析题型一题型二题型三错因分析错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中O∉平面MBC,选择𝑂𝐴求点A到平面MBC的距离是错误的,应选向量𝐵𝐴(或𝐶𝐴,𝑀𝐴).正解(接错解)又𝐵𝐴=0,0,23,则点A到平面MBC的距离d=|𝐵𝐴·𝑛||𝑛|=235=2155.答案:2155典例透析