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-1-第2课时用向量方法解决垂直问题目标导航1.理解线面的位置关系与向量的联系.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系.知识梳理空间中垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku(k∈R);(3)面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.知识梳理【做一做1】设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m=()A.1B.2C.3D.4解析:∵l1⊥l2,∴a⊥b.∴a·b=-2+6-2m=0,∴m=2.答案:B【做一做2】若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交解析:∵n=-2a,∴n∥a.∴l⊥α.答案:B重难聚焦应用向量方法证明垂直问题剖析:1.线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1⊥l2,只需证明a⊥b,即a·b=0.2.线面垂直(1)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证l⊥α,只需证明a∥u,即a=ku(k∈R).(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直,即设a,b是在平面α内(或与平面α平行)的两条直线的方向向量,且a与b不平行,直线l的方向向量为c,则l⊥α⇔c⊥a,且c⊥b⇔a·c=b·c=0.3.面面垂直(1)根据面面垂直的判定定理转化为证明相应的线面垂直、线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.典例透析题型一题型二题型三证明线线垂直【例1】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=14𝐶𝐶1.求证:𝐴𝐵1⊥MN.分析:先建立空间直角坐标系,找出𝐴𝐵1与𝑀𝑁的坐标,再证明𝐴𝐵1·𝑀𝑁=0.证明:如图,以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,𝐴𝐶,𝐴𝐴1的方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B132,12,1,𝑀34,34,0,𝑁0,1,14.∴𝐴𝐵1=32,12,1,𝑀𝑁=-34,14,14.∴𝐴𝐵1·𝑀𝑁=−38+18+14=0.∴𝐴𝐵1⊥𝑀𝑁,即AB1⊥MN.典例透析题型一题型二题型三反思证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0,可以建立空间直角坐标系,用坐标运算来解决,也可以利用向量间的几何关系来证明.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,∴E(a,x,0),F(a-x,a,0).∴𝐴1𝐹=(−𝑥,𝑎,−𝑎),𝐶1𝐸=(𝑎,𝑥−𝑎,−𝑎).∵𝐴1𝐹·𝐶1𝐸=(−𝑥,𝑎,−𝑎)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,∴𝐴1𝐹⊥𝐶1𝐸,即A1F⊥C1E.典例透析题型一题型二题型三证明线面垂直【例2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.典例透析题型一题型二题型三证法一:设𝐴1𝐵1=a,𝐴1𝐷1=b,𝐴1𝐴=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0.而𝐴1𝑂=𝐴1𝐴+𝐴𝑂=𝐴1𝐴+12(𝐴𝐵+𝐴𝐷)=c+12(a+b)=c+12𝐚+12𝐛,𝐵𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐵=b-a,𝑂𝐺=𝑂𝐶+𝐶𝐺=12(𝐴𝐵+𝐴𝐷)+12𝐶𝐶1=12(a+b)−12𝐜=12𝐚+12𝐛−12𝐜,∴𝐴1𝑂·𝐵𝐷=𝑐+12𝑎+12𝑏·(b-a)=c·(b-a)+12(a+b)·(b-a)=c·b-c·a+12(b2-a2)=12(|b|2-|a|2)=0.∴𝐴1𝑂⊥𝐵𝐷.∴𝐴1𝑂⊥BD.同理可证𝐴1𝑂⊥𝑂𝐺,∴𝐴1𝑂⊥OG.又OG∩BD=O,∴A1O⊥平面GBD.典例透析题型一题型二题型三证法二:如下图,取D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),B(2,2,0),D(0,0,0),∴𝑂𝐴1=1,−1,2,𝑂𝐵=1,1,0,𝐵𝐺=−2,0,1,∴𝑂𝐴1·𝑂𝐵=1−1+0=0,𝑂𝐴1·𝐵𝐺=−2+0+2=0.∴𝑂𝐴1⊥𝑂𝐵,𝑂𝐴1⊥𝐵𝐺,即OA1⊥OB,OA1⊥BG.而OB∩BG=B,∴A1O⊥平面GBD.典例透析题型一题型二题型三证法三:同证法二,建立空间直角坐标系后,设平面GBD的一个法向量n=(x,y,z),则𝐵𝐺·𝑛=0,𝐵𝐷·𝑛=0,∴-2𝑥+𝑧=0,-2𝑥-2𝑦=0,令x=1,得z=2,y=-1,∴平面GBD的一个法向量n=(1,-1,2),显然𝑂𝐴1=n,∴𝑂𝐴1∥n.∴A1O⊥平面GBD.典例透析题型一题型二题型三反思利用向量方法证明线面垂直的方法(1)利用基向量:先选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,再根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:先建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,再根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)利用法向量:先建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,再说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.求证:AF⊥平面A1ED.典例透析题型一题型二题型三解:如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意,得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),𝐸1,32,0.∴𝐴𝐹=(1,2,1),𝐸𝐴1=-1,-32,4,𝐸𝐷=-1,12,0,∴𝐴𝐹·𝐸𝐴1=0,𝐴𝐹·𝐸𝐷=0.∴AF⊥EA1,AF⊥ED.又EA1∩ED=E,∴AF⊥平面A1ED.典例透析题型一题型二题型三证明面面垂直【例3】如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=12𝐴𝐷.求证:平面AMD⊥平面CDE.分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.典例透析题型一题型二题型三证明:如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得A(0,0,0),𝑀12,1,12,𝐶(1,1,0),𝐷(0,2,0),𝐸(0,1,1),则𝐴𝑀=12,1,12,𝐶𝐸=(−1,0,1),𝐴𝐷=(0,2,0),可得𝐴𝑀·𝐶𝐸=0,𝐶𝐸·𝐴𝐷=0,因此CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.反思证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.求证:(1)A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.典例透析题型一题型二题型三证明:(1)如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A1(1,0,2),C1(0,1,2),B(2,2,0),B1(1,1,2).∵𝐴1𝐶1=(−1,1,0),𝐴𝐶=(−2,2,0),𝐵1𝐷1=(−1,−1,0),𝐵𝐷=(−2,−2,0),∴𝐴𝐶=2𝐴1𝐶1,𝐵𝐷=2𝐵1𝐷1,∴A1C1与AC共面,B1D1与BD共面.典例透析题型一题型二题型三(2)𝐷𝐷1·𝐴𝐶=(0,0,2)·(-2,2,0)=0,𝐷𝐵·𝐴𝐶=(2,2,0)·(-2,2,0)=0.∴𝐷𝐷1⊥𝐴𝐶,𝐷𝐵⊥𝐴𝐶.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,∴AC⊥平面B1BDD1.又AC⊂平面A1ACC1,∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.典例透析