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-1-3.2立体几何中的向量方法-2-第1课时用向量方法解决平行问题目标导航1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量(1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定.这个向量叫做直线的方向向量.(2)直线l垂直于平面α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.【做一做1-1】若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案:A解析:∵𝐴𝐵=(2,4,6),∴𝑙的一个方向向量应平行于𝐴𝐵.故选A.知识梳理【做一做1-2】若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)解析:同一个平面的法向量平行,故选D.答案:D知识梳理2.空间中平行关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)线线平行:l∥m⇔a∥b⇔a=kb(k∈R);(2)线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;(3)面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv(k∈R).【做一做2-1】下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)解析:A项中,b=-2a⇒a∥b;B项中,d=-3c⇒d∥c;C项中,零向量与任何向量都平行.故选D.答案:D知识梳理【做一做2-2】若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则()A.α∥βB.α⊥βC.α与β相交但不垂直D.以上均不正确解析:∵α,β的法向量满足u=−13𝐯,∴u∥v,∴α∥β.答案:A重难聚焦1.求平面的法向量的一般步骤剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解,一般步骤如下:(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0有无数多个解,只需给x,y,z中的一个变量赋一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.注意赋值不能为零.重难聚焦2.用向量方法证明空间中的平行关系剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.(1)线线平行设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R).(2)线面平行①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0.②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.重难聚焦③要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.(3)面面平行①由平面与平面平行的判定定理可知,要证明面面平行,只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.②若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v即可.典例透析题型一题型二平面的法向量的求法【例1】四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.典例透析题型一题型二解:∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以𝐴𝐷,𝐴𝐵,𝐴𝑆的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴𝐴𝐷=(1,0,0),𝐷𝐶=(1,2,0),𝐷𝑆=(−1,0,2).∵AD⊥平面SAB,∴𝐴𝐷=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·𝐷𝐶=(𝑥,𝑦,𝑧)·(1,2,0)=x+2y=0.又n·𝐷𝑆=(𝑥,𝑦,𝑧)·(-1,0,2)=-x+2z=0,取x=1,则y=−12,𝑧=12,∴n=1,-12,12即为平面SCD的法向量.典例透析题型一题型二反思任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题中的法向量的设法值得借鉴.典例透析题型一题型二【变式训练1】已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),由题意𝐴𝐵=(−1,1,0),𝐵𝐶=(1,0,−1).∵n⊥𝐴𝐵,且n⊥𝐵𝐶,∴𝑛·𝐴𝐵=-𝑥+𝑦=0,𝑛·𝐵𝐶=𝑥-𝑧=0,令x=1,得y=z=1.∴平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1).典例透析题型一题型二利用向量法证明空间中的平行关系【例2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.求证:CE∥平面C1E1F.典例透析证明:以D为坐标原点,以𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11,12,2.题型一题型二典例透析设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).∵𝐶1𝐸1=1,-12,0,𝐹𝐶1=(−1,0,1),∴𝑛·𝐶1𝐸1=0,𝑛·𝐹𝐶1=0,即𝑥=12𝑦,𝑥=𝑧,取n=(1,2,1).∵𝐶𝐸=(1,−1,1),n·𝐶𝐸=1−2+1=0,∴𝐶𝐸⊥n,且𝐶𝐸⊄平面C1E1F.∴CE∥平面C1E1F.题型一题型二典例透析【变式训练3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=23𝑎.求证:𝑀𝑁∥平面BB1C1C.题型一题型二典例透析证明:以D为坐标原点,以𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(a,0,0),B(a,a,0),𝑀𝑎,13𝑎,23𝑎,𝑁23𝑎,13𝑎,0,则𝐴𝐵=(0,𝑎,0),𝑀𝑁=-13𝑎,0,-23𝑎,所以𝐴𝐵·𝑀𝑁=0,即𝐴𝐵⊥𝑀𝑁.又𝐴𝐵为平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.题型一题型二典例透析