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-1-3.1.5空间向量运算的坐标表示目标导航1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量的长度,两个向量的夹角和两点间的距离公式.知识梳理1.空间向量的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;(5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);(6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;(7)|a|=𝑎·𝑎=𝑎12+𝑎22+𝑎32;(8)cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32𝑏12+𝑏22+𝑏32.知识梳理【做一做1-1】与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为()A.(1,7,5)B.(1,-7,5)C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)解析:(-1,-7,5)·a=-1-14+15=0,(-1,-7,5)·b=-3-7+10=0.答案:C【做一做1-2】已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b=()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)解析:b=(a+b)-a=(-2,4,-2).答案:B知识梳理2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则(1)𝐴𝐵=(𝑥2−𝑥1,𝑦2−𝑦1,𝑧2−𝑧1);(2)dAB=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2+(𝑧2-𝑧1)2.知识梳理【做一做2-1】在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则()A.𝐴𝐵=(−1,2,1)B.𝐴𝐵=(1,3,4)C.𝐴𝐵=(2,1,3)D.𝐴𝐵=(−2,−1,−3)解析:∵A(-1,2,1),B(1,3,4),∴𝐴𝐵=(2,1,3).答案:C【做一做2-2】已知a=(1,3,5),b=(-2,-3,1),则a+b=,|a|=.解析:a+b=(1-2,3-3,5+1)=(-1,0,6),|a|=12+32+52=35.答案:(-1,0,6)35重难聚焦空间向量的坐标运算剖析空间向量的加法、减法和数量积与平面向量类似,具有类似的运算法则,学习中可类比推广.但能不能推广是难点所在,应抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破,即向量a在平面上是用唯一确定的有序实数对表示,即a=(x,y),在空间也是这样定义的.不同点仅是向量在空间具有不同的表达形式,如在平面上,a=(x1,y1),|a|=𝑥12+𝑦12;在空间中,a=(a1,a2,a3),|a|=𝑎12+𝑎22+𝑎32.但不论在平面还是在空间都有cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.重难聚焦空间两个向量平行与平面两个向量平行的表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为λ.空间两个向量垂直与平面两个向量垂直公式类似.空间向量的长度公式是计算向量的长度,其形式与平面向量的长度公式一致,学习时可用类比的方法进行.它的几何意义是表示长方体对角线的长度.夹角公式可根据数量积的定义a·b=|a||b|cosθ,结合空间向量的数量积、空间向量的长度推出其范围为0°≤θ≤180°.空间两点间的距离公式是长度公式的推广.先根据向量的减法推出向量𝐴𝐵的坐标表示,再用长度公式推出.典例透析题型一题型二题型三题型四空间向量的坐标运算【例1】已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使:(1)𝑂𝑃=12(𝐴𝐵−𝐴𝐶);(2)𝐴𝑃=12(𝐴𝐵−𝐴𝐶).分析:解答本题时可先求出𝐴𝐵,𝐴𝐶的坐标,再利用运算性质求𝑂𝑃,𝐴𝑃.解:𝐴𝐵=(2,6,−3),𝐴𝐶=(−4,3,1),𝐴𝐵−𝐴𝐶=(6,3,−4).(1)𝑂𝑃=12(𝐴𝐵−𝐴𝐶)=12(6,3,−4)=3,32,-2,则点P的坐标为3,32,-2.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设点P的坐标为(x,y,z),则𝐴𝑃=(𝑥−2,𝑦+1,𝑧−2).∵𝐴𝑃=12(𝐴𝐵−𝐴𝐶)=3,32,-2,∴𝑥-2=3,𝑦+1=32,𝑧-2=-2,即x=5,y=12,𝑧=0,则点P的坐标为5,12,0.反思向量的坐标即终点的坐标减去起点坐标对应的坐标.求向量终点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点的坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点的坐标.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,求p,q,p·q.解:p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1);q=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1);p·q=(1,0,-1)·(0,3,1)=1×0+0×3+(-1)×1=-1.典例透析题型一题型二题型三题型四坐标形式下平行与垂直条件的应用【例2】设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.分析:解答本题可先求出ka+b与a-3b,再根据向量平行与垂直的条件列方程求解.解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(7,-4,-16).(1)若(ka+b)∥(a-3b),则𝑘-27=5𝑘+3-4=-𝑘+5-16,解得k=−13.(2)若(ka+b)⊥(a-3b),则(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=1063.典例透析题型一题型二题型三题型四反思已知向量平行或垂直时,利用坐标应满足的条件可得到方程(组),进而求出参数的值,当b=(x2,y2,z2)中的每个坐标都非零时,a∥b⇔𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2=𝑧1𝑧2.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值;(2)已知向量a=(1,2,0),b=(0,2,3),若(a+kb)⊥(a-2b),求k的值.解:(1)∵a∥b,∴a=λb.则有2=3𝜆,4=𝜆𝑥,5=𝜆𝑦.∴𝜆=23,𝑥=6,即𝑥=6,𝑦=152.𝑦=152,(2)由题意知,a+kb=(1,2+2k,3k),a-2b=(1,-2,-6).∵(a+kb)⊥(a-2b),∴1×1+(2+2k)×(-2)+3k×(-6)=0,解得k=-322.典例透析题型一题型二题型三题型四用向量的坐标解决问题【例3】如图所示,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,𝐸是𝑆𝐴的中点,𝑂为底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心.(1)求CE的长;(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.典例透析题型一题型二题型三题型四分析:由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证明.在第(3)问的证明过程中,要充分利用共线向量的知识,不直接设出点G的坐标,而是设𝑆𝐺的坐标,这样就出现一个未知量,便于求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,连接SO,AC,OB,以O为原点,以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝑆所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.因为侧棱长为2,底面边长为3,𝐸为SA的中点,所以𝐴62,0,0,𝑆0,0,22,𝐶-62,0,0,𝐵0,62,0,𝐸64,0,24.典例透析题型一题型二题型三题型四(1)𝐶𝐸=364,0,24,所以|𝐶𝐸|=3642+02+242=142,即CE=142.(2)因为𝐵𝐸=64,-62,24,𝑆𝐶=-62,0,-22,所以cos𝐵𝐸,𝑆𝐶=𝐵𝐸·𝑆𝐶|𝐵𝐸|·|𝑆𝐶|=-12×2=−12,故异面直线BE和SC所成角的余弦值为12.典例透析题型一题型二题型三题型四(3)证明:因为G在SC上,所以SG与SC共线,可设SG=𝜆SC=-62λ,0,-22λ,则OG=OS+SG=0,0,22+-62λ,0,-22λ=-62λ,0,22(1-λ).因为OG⊥SC,所以OG·SC=0,即32𝜆−12(1−𝜆)=0,所以𝜆=14.所以OG=-68,0,328.又BE=64,-62,24,所以OG·BE=−632+0+632=0.所以OG⊥BE,即OG⊥BE.典例透析题型一题型二题型三题型四反思结合题目建立适当的空间直角坐标系,先写出所需点的坐标,求出向量坐标,再利用坐标的运算对向量进行证明和求解运算.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,(1)求证:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦值;(3)求FH的长.分析:依据条件建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算.CG=14𝐶𝐷,𝐻是𝐶1𝐺的中点.典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则B1(1,1,1),C(0,1,0),𝐸0,0,12,𝐹12,12,0,𝐺0,34,0,𝐶1(0,1,1),𝐻0,78,12.(1)证明:∵𝐸𝐹=12,12,-12,𝐵1𝐶=(−1,0,−1),∴𝐸𝐹·𝐵1𝐶=12,12,-12·(-1,0,-1)=0,∴EF⊥B1C.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)∵𝐶1𝐺=0,-14,-1,∴𝐸𝐹·𝐶1𝐺=12,12,-12·0,-14,-1=38,|𝐸𝐹|=122+122+-122=32,|𝐶1𝐺|=02+-142+(-1)2=174,∴cos𝐸𝐹,𝐶1𝐺=3832·174=5117,∴EF与C1G所成的角的余弦值为5117.典例透析题型一题型二题型三题型四(3)∵𝐹𝐻=-12,38,12,∴|𝐹𝐻|=-122+382+122=418.典例透析题型一题型二题型三题型四易错点忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致错【例4】若向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3)的夹角为120°,求实数k的值.错解依题意有cos120°=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=2𝑘13×𝑘2+9,解得k=±39,即实数k的值等于±39.错因分析由于两个向量的夹角为120°,是钝角,因此必有a·b=2k0,从而舍去k的正值.正解依题意有cos120°=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=2𝑘13×𝑘2+9,解得k=−39(𝑘=39舍去),即实数k的值为−39.典例透析